33. Determine y'' se

a. y = cossec(x)

Passo 1

Vamos achar a primeira derivada da função, a derivada de ( cossec ⁡ x ) é ( - cossec ⁡ x cotg ⁡ x ) :

y ' = - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

Agora derivamos mais uma vez para encontrar a segunda derivada,

y ' ' = d d x ( - cossec ⁡ x cotg ⁡ x )

y ' ' = - d d x ( cossec ⁡ x cotg ⁡ x )

para isso vamos usar a regra do produto:

d d x u ⋅ v = v d u d x + u d v d x

Onde u = cossec ⁡ x e v = cotg ⁡ x :

y ' ' = - cotg ⁡ x d d x cossec ⁡ x + cossec ⁡ x d d x cotg ⁡ x

Derivada de cossec ⁡ x é - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

E a derivada de cotg ⁡ x é - cossec 2 ⁡ x

Então a função fica:

y ' ' = - cotg ⁡ x - cossec ⁡ x cotg ⁡ x + cossec ⁡ x - cossec 2 ⁡ x

y ' ' = - - cossec ⁡ x cotg 2 ⁡ x + - cossec 3 ⁡ x

y ' ' = cossec ⁡ x cotg 2 ⁡ x + cossec 3 ⁡ x

Resposta

y ' ' = cossec ⁡ x cotg 2 ⁡ x + cossec 3 ⁡ x

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