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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 33a

33. Determine y ' ' se

a. y = cossec x

Passo 1

Vamos achar a primeira derivada da função, a derivada de ( cossec x ) é ( - cossec x cotg x ) :

y^' = - cossec x cotg x

Agora derivamos mais uma vez para encontrar a segunda derivada,

y^(' ') = (d)/(d x) ( - cossec x cotg x )

y^(' ') = - (d)/(d x) ( cossec x cotg x )

para isso vamos usar a regra do produto:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

Onde u = cossec x e v = cotg x :

y^(' ') = - [(cotg x) (d)/(d x) (cossec x) + (cossec x) (d)/(d x) (cotg x)]

Derivada de (cossec x) é (- cossec x cotg x)

E a derivada de (cotg x) é (- cossec^2 x)

Então a função fica:

y^(' ') = - [(cotg x) (- cossec x cotg x) + (cossec x) (- cossec^2 x)]

y^(' ') = - [(- cossec x cotg^2 x) + (- cossec^3 x)]

y^(' ') = cossec x cotg^2 x + cossec^3 x

Resposta

y^(' ') = cossec x cotg^2 x + cossec^3 x

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