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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 54

Determine a derivada da função y = 2 ( l n x ) ^(x // 2)

Passo 1

Como temos o termo a ser derivado na base e no expoente, podemos reescrevê-lo da seguinte maneira: a ^b = e ^(b l n a) . Então temos:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ( 2 ( l n x ) ^(x // 2) ) = (d)/(d x) ( e ^(x // 2 * l n ( 2 l n x )) )

Passo 2

Para derivar a exponencial fazemos a exponencial vezes a derivada do seu argumento.

(d)/(d x) ( e ^(x // 2 l n ( 2 l n x )) ) = e ^(x // 2 l n ( 2 l n x )) * (d)/(d x) [ x // 2 * l n ( 2 l n x ) ] = 2 ( l n x ) ^(x // 2) * (d)/(d x) [ x // 2 * l n ( 2 l n x ) ]

Passo 3

Podemos agora usar a regra do produto:

(d)/(d x) [ x // 2 * l n ( 2 l n x ) ] = (d)/(d x) [ x // 2 ] * l n ( 2 l n x ) + x // 2 * (d)/(d x) [ l n ( 2 l n x ) ]

Passo 4

A primeira derivada:

(d)/(d x) [ x // 2 ] = (1)/(2) (d)/(d x) ( x ) = (1)/(2)

Passo 5

Para a segunda derivada será necessário fazer regra da cadeia, por ser uma função composta:

(d)/(d x) [ l n ( 2 l n x ) ] = (1)/(2 l n x) (d)/(d x) ( 2 l n x ) = (1)/(2 l n x) * (2)/(x) = (1)/(x l n x)

Resposta

Substituindo tudo:

(d y)/(d x) = 2 ( l n x ) ^(x // 2) * { (d)/(d x) [ x // 2 ] * l n ( 2 l n x ) + x // 2 * (d)/(d x) [ l n ( 2 l n x ) ] } = 2 ( l n x ) ^(x // 2) * [ (1)/(2) l n ( 2 l n x ) + x // 2 * (1)/(x l n x) ]

(d y)/(d x) = ( l n x ) ^(x // 2) * [ l n ( 2 l n x ) + (1)/(l n x) ]

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