Determine a derivada da função y = 2(ln x)^(x/2)

Passo 1

Como temos o termo a ser derivado na base e no expoente, podemos reescrevê-lo da seguinte maneira: a b = e b   l n   a . Então temos:

d y d x = d d x ( 2 ( l n   x ) x / 2 ) = d d x ( e x / 2   ⋅   l n   ( 2   l n   x ) )

Passo 2

Para derivar a exponencial fazemos a exponencial vezes a derivada do seu argumento.

d d x ( e x / 2     l n   ( 2   l n   x ) ) = e x / 2     l n   ( 2   l n   x )   ⋅ d d x [ x / 2 ⋅ l n   ( 2   l n   x ) ] = 2 ( l n   x ) x / 2   ⋅ d d x [ x / 2 ⋅ l n   ( 2   l n   x ) ]

Passo 3

Podemos agora usar a regra do produto:

d d x [ x / 2 ⋅ l n   ( 2   l n   x ) ] = d d x [ x / 2 ] ⋅ l n   ( 2   l n   x )   + x / 2 ⋅ d d x [ l n   ( 2   l n   x ) ]

Passo 4

A primeira derivada:

d d x [ x / 2 ] = 1 2 d d x ( x )   = 1 2

Passo 5

Para a segunda derivada será necessário fazer regra da cadeia, por ser uma função composta:

d d x [ l n   ( 2   l n   x ) ] = 1 2 l n   x d d x ( 2   l n   x ) = 1 2 l n   x ⋅ 2   x = 1 x   l n   x

Resposta

Substituindo tudo:

d y d x = 2 ( l n   x ) x / 2 ⋅ { d d x [ x / 2 ] ⋅ l n   ( 2   l n   x )   + x / 2 ⋅ d d x [ l n   ( 2   l n   x ) ] } = 2 ( l n   x ) x / 2 ⋅ [ 1 2 l n   ( 2   l n   x ) +   x / 2 ⋅ 1 x   l n   x ]

d y d x = ( l n   x ) x / 2 ⋅ [ l n   ( 2   l n   x ) +   1   l n   x ]

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