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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 1q

Determine a derivada.

g (t) = (t^2 + 3)^4

Passo 1

Vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de um polinômio, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y^' = (d y)/(d t) = (d y)/(d u) * (d u)/(d t)

Onde u = h (t) .

Passo 2

Temos que h (t) é a função mais de dentro e y = f (t) a função mais de fora:

u = h (t) = t^2 + 3

Assim:

y = f (t) = u^4

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função constante e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (d y)/(d t) = (d y)/(d u) * (d u)/(d t) = (d)/(d u) (u^4) * (d)/(d t) (t^2 + 3) = 4 u^(4 - 1) * (2 t^(2 - 1) + 0) = 4 u^3 * (2 t) = 8 t u^3

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = 8 t u^3 = 8 t (t^2 + 3)^3

Resposta

y ' = 8 t (t^2 + 3)^3

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