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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 76

76. Para quais valores de r a função y = e r x satisfaz a equação diferencial y ' ' - 4 y ' + y = 0 ?

Passo 1

Falaaa... belezinha???

Nessa questão só vamos precisar derivadar a função y = e r x e depois jogar na equação diferencial.

Lembra que a derivada da função e x é a própria e x ??

E a derivada de e r x vai ser quem??

Usando a regra da cadeia:

d y d x = d y d v ⋅ d v d x

Passo 2

No nosso caso aqui:

v = r x

Então:

d v d x = r

Pois muito que bem temos:

d y d x = e r x r

d y d x = r e r x

E derivando mais uma vez:

d 2 y d x 2 = r e r x r

d 2 y d x 2 = r 2 e r x

Passo 3

Show... agora vamos jogar essas coisas na equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + y = 0

r 2 e r x - 4 r e r x + e r x = 0

r 2 e r x - 4 r e r x + e r x = 0

Colocando o e r x em evidência:

e r x r 2 - 4 r + 1 = 0

Daí vamos ter duas opções:

Ou e r x = 0 , o que não pode ser porque a função exponencial é sempre positiva, né?

Ou:

r 2 - 4 r + 1 = 0

Fazendo o bom e velho Bhaskara:

r = 4 ± - 4 2 - 4 1 1 2 1

r = 4 ± 16 - 4 2

r = 4 ± 2 3 2

r = 2 ± 3

Resposta

r = 2 ± 3

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