Encontre a 1000ª derivada de .
Passo 1
Provavelmente você deve estar pensando que o livro é louco em pedir para você derivar uma função 1000 vezes....
Bom, na verdade, o que o exercício quer de você é que você derive algumas vezes e tente achar um padrão e, daí, prever qual seria a 1000ª derivada. Vamos tentar fazer isso!!!
Passo 2
Vou denotar a primeira derivada por , a segunda derivada por , e assim por diante. A primeira derivada será:
Tomando as próximas derivadas:
Já deu para pegar o padrão? Note que as derivadas pares são do tipo e as ímpares são , onde é o índice da derivada. Como a 1000ª derivada é par, temos que
Resposta