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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 17

Encontre a derivada da função.

f x = 2 x - 3 4 x 2 + x + 1 5

Passo 1

Oieeee, bora resolver esse exercício comigo:

O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função

f x = 2 x   –   3 4 ⋅ x 2 + x + 1 5

Para encontrar a derivada da função composta f ( x ) precisamos aplicar a regra do produto da diferenciação, pois veja que temos aqui um produto entre duas funções:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Veja que também precisaremos aplicar a regra da cadeia aqui, pois temos uma composição de funções aqui. A regra da cadeia diz que:

d y d u = d y d x ∙ d u d x

Passo 2

A regra do produto diz que:

d d x u v = d u d x v + d v d x u

A regra da cadeia iremos utilizar pois temos uma função dentro de outra função, e para derivar essas situações precisamos dela.

Vamos começar utilizando a regra do produto:

f x = 2 x   –   3 4 ⋅ x 2 + x + 1 5

Sendo u = 2 x   –   3 4 e v = x 2 + x + 1 5 :

f ' x = d d x 2 x - 3 4 x 2 + x + 1 5 + 2 x - 3 4 ∙ d d x x 2 + x + 1 5

Agora iremos aplicar a regra da cadeia nos termos:

f ' x = 4 2 x - 3 3 ∙ d d x 2 x - 3 x 2 + x + 1 5 + 2 x - 3 4 ∙ 5 x 2 + x + 1 4 ∙ d d x x 2 + x + 1

Passo 3

Agora, as duas expressões com " d x " na frente apareceram devido à Regra da Cadeia (multiplicação pela derivada da função interna).

f ' x = 4 2 x - 3 3 2 x 2 + x + 1 5 + 2 x - 3 4 5 x 2 + x + 1 4 2 x + 1 + 0

f ' x = 8 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 5 + 5 2 x - 3 4 x 2 + x + 1 4 2 x + 1

Agora, basta simplificar.

Existem dois grupos de fatores, observe que cada grupo tem 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 , sendo assim, podemos colocar esse termo em evidencia:

f ' x = 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 8 x 2 + x + 1 + 5 2 x - 3 2 x + 1

Realizando os as distributivas:

f ' x = 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 8 x 2 + 8 x + 8 + 5 4 x 2 + 2 x - 6 x - 3

Realizando mais uma distributiva:

f ' x = 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 8 x 2 + 8 x + 8 + 5 4 x 2 - 4 x - 3

Agora iremos simplificar os termos:

f ' x = 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 8 x 2 + 8 x + 8 + 20 x 2 - 20 x - 15

Temos como resultado:

f ' x = 2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 ( 28 x 2 - 12 x - 7 )

Resposta

2 x - 3 3 x 2 + x + 1 4 ( 28 x 2 - 12 x - 7 )

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