Derive a função.

g(x) = ln(x \* raiz(x^2 - 1))

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar a função:

g x = ln ⁡ x x 2 - 1

Observe que nós temos uma função composta, que tem um produto de funções dentro dela. Isso significa que vamos ter usar a regra do produto junto com a regra da cadeia na derivação, que são dadas respectivamente por:

f g ' = f ' g + f g '

f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Lembrando que a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 x ∙ ( x ) ' e que as propriedades de logaritmos nos dão:

l n ⁡ a ∙ b = l n ⁡ a + l n ⁡ b

E

l n ⁡ x p = p l n ⁡ x

Beleza? Vamos lá!!

Passo 2

Antes de derivar, a gente já pode utilizar uma propriedade dos logaritmos para deixar essa função de uma forma que facilite mais a nossa vida.

Temos que:

g x = ln ⁡ x x 2 - 1

Arrumando um pouco essa expressão, usando a propriedade, temos:

g x = ln ⁡ x + ln ⁡ x 2 - 1

g x = ln ⁡ x + ln ⁡ x 2 - 1 1 / 2

Observe que a gente colocou a raiz em forma de potência. Agora usando a segunda propriedade, que vimos no passo 1 , vamos ter:

g x = ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ ( x 2 - 1 )

Beleza, agora podemos aplicar a regra da cadeia na derivada de cada termo. Assim:

g ' x   = 1 x ∙ x ' + 1 2 ∙ 1 x 2 - 1 x 2 - 1 '

Derivando a função de dentro em relação a x :

g ' x = 1 x ⋅ 1 + 1 2 ⋅ 1 x 2 - 1   ⋅ 2 x

E calculando esses produtos, temos:

g ' x = 1 x + x x 2 - 1

Ou, tirando o MMC:

g ' x = 2 x 2 - 1 x ( x 2 - 1 )

Entendeu direitinho?? Responde aí! 😉

Resposta

g ' x = 2 x 2 - 1 x ( x 2 - 1 )

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