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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 13

Derive a função.

g (x) = ln (x sqrt(x^2 - 1))

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar a função:

g (x) = ln (x sqrt(x^2 - 1))

Observe que nós temos uma função composta, que tem um produto de funções dentro dela. Isso significa que vamos ter usar a regra do produto junto com a regra da cadeia na derivação, que são dadas respectivamente por:

(f g)^' = f^' g + f g^'

[f (g (x))]^' = f^' (g (x)) * g^' ( x )

Lembrando que a derivada de ln x é igual a (1)/(x) * ( x )^' e que as propriedades de logaritmos nos dão:

l n (a * b) = l n a + l n b

E

l n (x)^p = p l n (x)

Beleza? Vamos lá!!

Passo 2

Antes de derivar, a gente já pode utilizar uma propriedade dos logaritmos para deixar essa função de uma forma que facilite mais a nossa vida.

Temos que:

g (x) = ln (x sqrt(x^2 - 1))

Arrumando um pouco essa expressão, usando a propriedade, temos:

g (x) = ln x + ln sqrt(x^2 - 1)

g (x) = ln x + ln (x^2 - 1)^(1 // 2)

Observe que a gente colocou a raiz em forma de potência. Agora usando a segunda propriedade, que vimos no passo 1 , vamos ter:

g (x) = ln (x) + (1)/(2) ln ( x^2 - 1 )

Beleza, agora podemos aplicar a regra da cadeia na derivada de cada termo. Assim:

g^' (x) = (1)/(x) * (x)^' + (1)/(2) * (1)/(x^2 - 1) (x^2 - 1)^'

Derivando a função de dentro em relação a x :

g^' (x) = (1)/(x) * 1 + (1)/(2) * (1)/(x^2 - 1) * 2 x

E calculando esses produtos, temos:

g^' (x) = (1)/(x) + (x)/(x^2 - 1)

Ou, tirando o MMC:

g^' (x) = (2 x^2 - 1)/(x ( x^2 - 1 ))

Entendeu direitinho?? Responde aí! 😉

Resposta

g^' (x) = (2 x^2 - 1)/(x ( x^2 - 1 ))

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