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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 43

Encontre a derivada da função.

g x = d d x 2 r a r x + n p

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

g ( x ) = d d x 2 r a r x + n p

Essa é uma função que pode ser vista como uma função dentro de outra.

Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Obs: r , a , n e p não são variáveis, e sim constantes.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Nossa função é:

g x = 2 r a r x + n p

Fazendo u = 2 r a r x + n , temos:

g u = u p

Aplicando a regra da cadeia, temos:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Logo,

g ' x = d d u u p ∙ d d x 2 r a r x + n

g ' x = p u p - 1 ∙ d d x 2 r a r x + n

Substituindo u , temos:

g ' x = p 2 r a r x + n p - 1 ∙ d d x 2 r a r x + n

Agora temos que resolver a derivada que sobrou que é:

d d x 2 r a r x + n

Passo 3

Aplicando a regra da soma de derivadas, temos:

d d x 2 r a r x + n = d d x 2 r a r x + d d x n

Como n é constante, então:

d d x n = 0

Dessa forma, temos apenas que calcular a derivada que sobrou:

d d x 2 r a r x + n = d d x 2 r a r x

Vou chamar essa função de h ( x ) .

h x = 2 r a r x

Aqui teremos outra regra da cadeia, se liga só. Fazendo:

u = r x

Teremos:

h u = 2 r a u

Aplicando a regra da cadeia temos:

h ' x = d d u 2 r a u ⋅ d d x r x

Sabemos que

a x ' = a x ln ⁡ a

Voltando para a regra da cadeia e derivando teremos:

h ' x = 2 r a u ln ⁡ a r

Desfazendo a substituição, chegamos em:

h ' x = 2 r 2 a r x ln ⁡ a

Portanto, temos que:

d d x 2 r a r x + n = 2 r 2 a r x ln ⁡ a

Passo 4

Logo, aplicando em g ' x , temos:

g ' x = p 2 r a r x + n p - 1 ∙ d d x 2 r a r x + n

g ' x = p 2 r a r x + n p - 1 ∙ 2 r 2 a r x ln ⁡ a

g ' x = 2 r 2 p ln ⁡ a 2 r a r x + n p - 1 a r x

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

g ' x = 2 r 2 p ln ⁡ a 2 r a r x + n p - 1 a r x

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