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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 35

Encontre a derivada da função.

y = cos ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = cos ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x

Tem ideia de como fazemos isso?

Podemos perceber que a função y se trata de uma função composta então para calcular sua derivada precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

d y d x = d y d u · d u d x

Vale lembrar também que a derivada do cosseno é dada por:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia fazendo u = 1 - e 2 x 1 + e 2 x , temos:

d y d x = d d u cos ⁡ u ∙ d d x 1 - e 2 x 1 + e 2 x

d y d x = - sen ⁡ u ∙ d d x 1 - e 2 x 1 + e 2 x

d y d x = - sen ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x ∙ d d x 1 - e 2 x 1 + e 2 x

Para resolver d d x 1 - e 2 x 1 + e 2 x , devemos aplicar a regra do quociente, que é dada por:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que: f x = 1 - e 2 x e g x = 1 + e 2 x

Vamos agora só montar na fórmula:

1 - e 2 x 1 + e 2 x ' = 1 - e 2 x ' · 1 + e 2 x - 1 - e 2 x · 1 + e 2 x ' 1 + e 2 x 2

Bora continuar...

Passo 3

Vamos calcular f ' ( x ) aplicando a regra da cadeia fazendo u = 2 x :

f ' x = d d u 1 - e u · d d x 2 x

f ' x = - e u · 2

f ' x = - 2 e u

f ' x = - 2 e 2 x

Agora vamos calcular g ' ( x ) aplicando a regra da cadeia fazendo u = 2 x :

g ' x = d d u 1 + e u · d d x 2 x

g ' x = e u · 2

g ' x = 2 e u

g ' x = 2 e 2 x

Agora é só substituir na expressão:

1 - e 2 x 1 + e 2 x ' = 1 - e 2 x ' · 1 + e 2 x - 1 - e 2 x · 1 + e 2 x ' 1 + e 2 x 2

1 - e 2 x 1 + e 2 x ' = - 2 e 2 x · 1 + e 2 x - 1 - e 2 x · 2 e 2 x 1 + e 2 x 2

1 - e 2 x 1 + e 2 x ' = - 2 e 2 x · 1 + e 2 x + 1 - e 2 x 1 + e 2 x 2

Simplificando o numerador, chegamos em

1 - e 2 x 1 + e 2 x ' = - 4 e 2 x 1 + e 2 x 2

Show?

Passo 4

Agora voltamos a expressão do passo 2 para terminar:

y ' = - sen ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x · 1 - e 2 x 1 + e 2 x '

Substituindo a derivada que acabamos de calcular...

y ' = - sen ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x - 4 e 2 x 1 + e 2 x 2

y ' = 4 e 2 x 1 + e 2 x 2 sen ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x

Entendeu direitinho?? Responde Aí! 😉

Resposta

y ' = 4 e 2 x 1 + e 2 x 2 sen ⁡ 1 - e 2 x 1 + e 2 x

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