Determine o comprimento da curva y = 1 / 2 * cosh(2x) de x = 0 a x = ln(raiz(5)) .

Passo 1

O comprimento de uma curva f sobre um intervalo [a,b] é dado por:

L = int_a^b sqrt(1 + (f^' (x))^2) d x

Vamos primeiramente então calcular f^' (x) :

f (x) = (1)/(2) cosh 2 x -> f^' (x) = s e n h 2 x

Agora, jogamos na fórmula:

L = int_0^(ln sqrt(5)) sqrt(1 + (s e n h 2 x)^2) d x

L = int_0^(l n sqrt(5)) cosh 2 x

L = (s e n h 2 x)/(2) ] (l n sqrt(5))/(0)

L = ((s e n h 2 ln sqrt(5) ))/(2))

L = (1)/(2) ((e^(2 l n sqrt(5)) - e^(- 2 l n sqrt(5)))/(2)) = (1)/(4) (5 - (1)/(5)) = (6)/(5)

Resposta

L = (6)/(5)

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