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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 41

Determine a derivada no Exercício d d t ∫ 0 t 4 u   d u

a. calculando a integral e derivando o resultado.

b. derivando a integral diretamente.

Passo 1

A questão nos pede que calculemos a derivada de uma integral definida por dois modos:

  1. Primeiro integrando e depois derivando
  2. Derivando direto, para isso é preciso lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo em que d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Vamos resolver primeiro a letra “a” e resolver primeiro a integral:

d d t ∫ 0 t 2 u   d u = u 0 t 4

= u 1 2 + 1 1 2 + 1 0 t 4

= u 3 2 3 2 0 t 4

= 2 . u 3 2 3 0 t 4

= 2 . ( t 4 ) 3 2 3 - 2.0 3 2 3

= 2 . t 6 3

Em seguida derivamos:

d d t 2 . t 6 3 = 2 3 . d d t   t 6

= 2 3 . 6 .   t 5

= 4 .   t 5

Passo 3

Agora iremos derivar direto usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

d d t ∫ 0 t 4 u   d u = t 4 . t 4 '

= t 2 . 4 . t 3

= 4 .   t 5

Resposta

d d t ∫ 0 t 4 u   d u = 4 .   t 5

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