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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 48

No Exercício y = x int_2^(x^2) s e n ( t^3 ) d t , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = x int_2^(x^2) s e n (t^3) d t

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (x . int_2^(x^2) s e n ( t^3 ) d t)

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar a propriedade de derivação sobre multipilicação:

(d y)/(d x) = x . (d)/(d x) int_2^(x^2) s e n ( t^3 ) d t + int_2^(x^2) s e n ( t^3 ) d t . (d)/(d x) x

= x . s e n (x^2)^3 . (x^2)^' + int_2^(x^2) s e n ( t^3 ) d t . 1

= x . s e n x^6 . 2 . x + int_2^(x^2) s e n ( t^3 ) d t

= 2 x^2 . s e n x^6 + int_2^(x^2) s e n ( t^3 ) d t

Resposta

(d y)/(d x) = 2 x^2 . s e n x^6 + int_2^(x^2) s e n ( t^3 ) d t

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