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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 56

Determine a derivada da função y = s e n ^(- 1) ((1)/(sqrt(v)))

Passo 1

Podemos resolver essa questão usando a derivada da inversa da função seno, que é dada por:

(d)/(d t) s e n ^(- 1) x = (1)/(sqrt(1 - x ^2)) (d x)/(d t)

Passo 2

Então, se usarmos essa relação:

(d y)/(d v) = (1)/(sqrt(1 - ((1)/(sqrt(v))) ^2)) (d)/(d v) ((1)/(sqrt(v))) = (1)/(sqrt(1 - (1)/(v))) (d)/(d v) ((1)/(sqrt(v))) = (sqrt(v))/(sqrt(1 - v)) (d)/(d v) ((1)/(sqrt(v)))

Passo 3

A derivada que resta, pode ser resolvida se aplicarmos a regra da potência:

(d)/(d v) ((1)/(sqrt(v))) = (d)/(d v) (v ^(- 1 // 2)) = - (1)/(2) * v ^(- 1 // 2 - 1) = - (1)/(2) * v ^(- 3 // 2)

Resposta

No final temos:

(d y)/(d v) = (sqrt(v))/(sqrt(1 - v)) (- (1)/(2) * v ^(- 3 // 2)) = - (1)/(2) * v ^(- 1 // 2 - 3 // 2) * (1)/(sqrt(1 - v))

(d y)/(d v) = - (1)/(2) * v ^(- 1) * (1)/(sqrt(1 - v))

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