Derive a função

f(x) = ln(raiz(x, 5))

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função:

f ( x ) = ln ⁡ ( x 5 )

Temos uma função de ln ⁡ , mas dentro do ln ⁡ a gente tem outra função! Para resolver isso, iremos utilizar a regra da cadeia.

f ( u ) = ln ⁡ ( u )

f ' x = d f d u ⋅ d u d x  

Ou seja, fazemos a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.

Vem comigo que te mostro tudinho.

Passo 2

Então temos:

f ( x ) = ln ⁡ ( x 5 )

Que pode ser escrito com expoente fracionário

f ( x ) = ln ⁡ x 1 5

Assim:

f u = ln ⁡ u

e

f ' x = d f d u ⋅ d u d x  

Veja que:

d f d u = ln ⁡ u ' = 1 u

Podemos escolher o u :

u = x 1 5

Derivamos usando a regra do expoente:

d u d x = 1 5 x 1 5 - 1 = 1 5 x - 4 5

Agora, basta substituir na fórmula da regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia temos:

f ' x = d f d u ⋅ d u d x  

f ' x = 1 u ⋅ 1 5 x - 4 5

E lembrando que

u = x 1 5

f ' x = 1 5 x - 4 5 ⋅ x - 1 5

Simplificando ficamos com:

f ' x = 1 5 x

Prontinho!

Resposta

f ' x = 1 5 x

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