Derive a função

f ( x ) = ln ⁡ sin 2 ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Beleza?

Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função

f x = ln ⁡ sin 2 ⁡ x

Em relação a x .

Para isso, veja que f ( x ) é composta por uma função ln que possui em seu argumento outra função   sin 2 ⁡ x .

Dessa forma, como se trata de uma função composta, deveremos utilizar a regra da cadeia na sua derivação:

f g x ' = f ' g x · g ' x

Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Vamos lá!

Passo 2

Lembrando que a derivada de ln ⁡ x é 1 x e aplicando a regra da cadeia na derivação, vamos ter:

f ' x = ln ⁡ sin 2 ⁡ x ' = ln ⁡ u ' · sin 2 ⁡ x '

f ' x = 1 u · sin 2 ⁡ x '

Se u = sin 2 ⁡ x , então

f ' x = 1 sin 2 ⁡ x · sin 2 ⁡ x '

Agora observe que em sin 2 ⁡ x também temos uma função composta, que é a potência ao quadrado e o seno no argumento.

Então, também aplicamos a regra da cadeia novamente para obter:

f ' x = 1 sin 2 ⁡ x · v 2 ' · sin ⁡ x '

f ' x = 1 sin 2 ⁡ x · 2 v · cos ⁡ x

Se v = sin ⁡ x , temos

f ' x = 1 sin 2 ⁡ x · 2 sin ⁡ x · cos ⁡ x

Simplificando, temos:

f ' x = 2 cos ⁡ x sin ⁡ x

Mas cos ⁡ x sin ⁡ x = cot ⁡ x , por definição. Sendo assim, ficamos com:

f ' x = 2 cot ⁡ x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' x = 2 cot ⁡ x

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