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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 11

Derive a função

F t = l n l n   ( 2 t + 1 ) 3 ( 3 t - 1 ) 4  

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

F t = l n l n   2 t + 1 3 3 t - 1 4  

E para questões desse tipo, o ideal é sempre ter atenção as características da função que queremos derivar. Analisando direitinho qual o tipo de função que temos vamos poder encontra a regra de derivação mais adequada.

Além disso, vamos escreve a função da maneira mais simples possível.

Veja que nossa função é formada por l n l n   2 t + 1 3 3 t - 1 4   , sendo assim podemos usar algumas propriedades do logaritmo, para que ela fique mais simples e depois veremos como podemos derivá-la.

Vem comigo que te ajudo no passo a passo.

Passo 2

Nossa função é:

F t = l n l n   2 t + 1 3 3 t - 1 4  

Lembrando que:

l n l n   a b   = l n l n   a   - l n l n   b  

Nossa função se torna:

l n l n   2 t + 1 3 3 t - 1 4   = l n l n   2 t + 1 3   - l n l n   3 t - 1 4  

E sabendo que:

l n l n   a b   = b l n l n   a  

Ela fica:

l n l n   2 t + 1 3 3 t - 1 4   = 3 l n l n   2 t + 1   - 4 l n l n   3 t - 1  

Maravilha. Agora a função que vamos derivar se tornou:

F x = 3 l n l n   2 t + 1   - 4 l n l n   3 t - 1  

Perceba que ela é formada por dois termos, assim sua derivada será dada por:

F ' x = 3 l n l n   2 t + 1   ' - 4 l n l n   3 t - 1   '

Vamos derivar cada termo nos passos seguintes.

Passo 3

Para fazer a derivada:

3 l n l n   2 t + 1  

Precisamos pensar que temos aqui uma função composta. Onde podemos pensar nela como sendo:

f g t = l n l n   g t  

onde g t = 2 t + 1

Nesses casos a regra de derivação mais adequada é a regra da cadeia. Onde:

f g t ' = f ' g ⋅ g ' t

Ou seja, fazendo a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro.

3 l n l n   g t     ' = 3 1 g t ⋅ g ' t

Lembrando que

g t = 2 t + 1

Então:

3 l n l n   g t     ' = 3 1 2 t + 1 ⋅ 2

Arrumando melhor, ficamos com

3 l n l n   g t     ' = 6 2 t + 1

Passo 4

De maneira análoga para o segundo termo temos:

4 l n l n   3 t - 1  

Precisamos pensar que temos aqui uma função composta. Onde podemos pensar nela como sendo:

f g t = l n l n   g t  

onde g t = 3 t - 1

Nesses casos a regra de derivação mais adequada é a regra da cadeia. Onde:

f g t ' = f ' g ⋅ g ' t

Ou seja, fazendo a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro.

4 l n l n   g t     ' = 4 1 g t ⋅ g ' t

Lembrando que

g t = 3 t - 1

Então:

4 l n l n   g t     ' = 4 1 3 t - 1 ⋅ 3

Arrumando melhor, ficamos com

4 l n l n   g t     ' = 12 3 t - 1

Passo 5

Agora basta substituir cada uma das derivadas que encontramos. Lembrando que

F ' x = 3 l n l n   2 t + 1   ' - 4 l n l n   3 t - 1   '

3 l n l n   g t     ' = 6 2 t + 1

e

4 l n l n   g t     ' = 12 3 t - 1

Ficamos com:

F ' t = 6 2 t + 1 - 12 3 t - 1

E prontinho. Essa é nossa derivada.

Resposta

F ' t = 6 2 t + 1 - 12 3 t - 1

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