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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 12

Derive a função

h ( x ) = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) )

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função:

h ( x ) = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) )

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, Regra da Potência e outras regras. Bora lá?

Passo 2

Começando pela regra da cadeia, temos que:

(d h)/(d x) = (d h)/(d u) (d u)/(d x)

Podemos dizer que:

u = x + sqrt(x^2 + 1)

h (u) = ln u

(d h)/(d x) = (d (ln u))/(d u) (d (x + sqrt(x^2 + 1)))/(d x)

Mas como derivamos u ?! Vamos ter que usar uma regra da cadeia dentro da regra da cadeiaa e além disso uma regra da soma!

(d (x + sqrt(x^2 + 1)))/(d x) = (d (x))/(d x) + (d ( sqrt(x^2 + 1) ))/(d x)

Na segunda parcela vamos precisar de uma nova regra da cadeia, para isso vamos dizer que:

v = x^2 + 1

u = sqrt(x^2 + 1) = sqrt(v) = v^((1)/(2))

(d ( sqrt(x^2 + 1) ))/(d x) = (d (v^(1 // 2)))/(d v) (d (x^2 + 1))/(d u)

Juntando tudo teremos:

(d h)/(d x) = (d (ln u))/(d u) ((d (x))/(d x) + (d (v^(1 // 2)))/(d v) (d (x^2 + 1))/(d u))

Passo 3

Agora é a hora de pormos a mão na massa e resolver:

(d h)/(d x) = (d (ln u))/(d u) ((d (x))/(d x) + (d (v^(1 // 2)))/(d v) (d (x^2 + 1))/(d u))

(d (ln u))/(d u) = (1)/(u) = (1)/(x + sqrt(x^2 + 1))

(d (x))/(d x) = 1

(d (v^(1 // 2)))/(d v) = (1)/(2 sqrt(v)) = (1)/(2 sqrt(x^2 + 1))

(d (x^2 + 1))/(d u) = 2 x

Então temos:

(d h)/(d x) = (1)/(x + sqrt(x^2 + 1)) (1 + (2 x)/(2 sqrt(x^2 + 1)))

Prontinhooo!

Resposta

h^' (x) = ((1)/(x + sqrt(x^2 - 1))) (1 + (2 x)/(2 sqrt(x^2 - 1)))

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