Derive a função

h(x) = ln(x + raiz(x^2 - 1))

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função:

h ( x ) = ln ⁡ ( x + x 2 - 1 )

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, Regra da Potência e outras regras. Bora lá?

Passo 2

Começando pela regra da cadeia, temos que:

d h d x = d h d u d u d x

Podemos dizer que:

u = x + x 2 + 1

h u = ln ⁡ u

d h d x = d ln ⁡ u d u d x + x 2 + 1 d x

Mas como derivamos u ?! Vamos ter que usar uma regra da cadeia dentro da regra da cadeiaa e além disso uma regra da soma!

d x + x 2 + 1 d x = d x d x + d ( x 2 + 1 ) d x

Na segunda parcela vamos precisar de uma nova regra da cadeia, para isso vamos dizer que:

v = x 2 + 1

u = x 2 + 1 = v = v 1 2

d ( x 2 + 1 ) d x = d v 1 / 2 d v d x 2 + 1 d u

Juntando tudo teremos:

d h d x = d ln ⁡ u d u d x d x + d v 1 / 2 d v d x 2 + 1 d u

Passo 3

Agora é a hora de pormos a mão na massa e resolver:

d h d x = d ln ⁡ u d u d x d x + d v 1 / 2 d v d x 2 + 1 d u

d ln ⁡ u d u = 1 u = 1 x + x 2 + 1

d x d x = 1

d v 1 / 2 d v = 1 2 v = 1 2 x 2 + 1

d x 2 + 1 d u = 2 x

Então temos:

d h d x = 1 x + x 2 + 1 1 + 2 x 2 x 2 + 1

Prontinhooo!

Resposta

h ' x = 1 x + x 2 - 1 1 + 2 x 2 x 2 - 1

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