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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 50

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 s e n 3 x - 3 x + x 2 s e n x s e n ( 2 x )  

Passo 1

Substituindo o limite, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo 0 0 :

l i m x → 0 s e n 3 x - 3 x + x 2 s e n x s e n ( 2 x )   = s e n 0 - 3 ⋅ 0 + 0 2 s e n 0 s e n ( 0 )   = 0 - 0 0 = 0 0  

Passo 2

Para aplicar o L’Hopital, derivamos o termo com l i m no numerador e no denominador. As derivadas serão dadas por:

l i m x → 0 s e n 3 x - 3 x + x 2 s e n x s e n ( 2 x )   = l i m x → 0 d d x s e n 3 x - 3 x + x 2 d d x s e n x s e n ( 2 x ) =

l i m x → 0 d d x s e n 3 x - d d x 3 x + d d x x 2 d d x s e n x s e n 2 x + s e n x d d x s e n 2 x = l i m x → 0 3 c o s 3 x - 3 + 2 x c o s x s e n ( 2 x ) + - s e n x 2 c o s 2 x

Passo 3

Substituindo o valor no limite, teremos uma nova indeterminação do tipo 0 0 :

l i m x → 0 3 c o s 3 x - 3 + 2 x c o s x s e n ( 2 x ) - s e n x 2 c o s 2 x = 3 c o s 0 - 3 + 2 ⋅ 0 c o s 0 s e n ( 0 ) - s e n 0 2 c o s 0 = 0 0

Passo 4

Aplicando a regra de L`Hopital mais uma vez, teremos que:

l i m x → 0 3 c o s 3 x - 3 + 2 x c o s x s e n 2 x + s e n x 2 c o s 2 x =

l i m x → 0 d d x 3 c o s ( 3 x ) - d d x 3 + d d x 2 x ( d d x c o s x ) s e n ( 2 x ) + c o s x ( d d x s e n 2 x ) + ( d d x s e n x ) 2 c o s ( 2 x ) + s e n x ( d d x 2 c o s 2 x )

l i m x → 0 - 9 s e n ( 3 x ) - 0 + 2 - s e n x . s e n 2 x + cos ⁡ x . 2 . cos ⁡ 2 x + { cos ⁡ x . 2 . cos ⁡ 2 x + [ s e n x . - 2 . 2 . s e n ( 2 x ) ] }

l i m x → 0 - 3 s e n ( 3 x ) + 2 - 5 s e n x s e n ( 2 x ) + 4 c o s x c o s ( 2 x )

Passo 5

Substituindo o valor no limite, teremos que:

l i m x → 0 - 3 s e n ( 3 x ) + 2 - 5 s e n x s e n ( 2 x ) + 4 c o s x c o s ( 2 x )

= - 3 s e n ( 0 ) + 2 - 5 s e n 0 s e n ( 0 ) + 4 c o s 0 c o s ( 0 ) = 0 + 2 0 + 4 = 2 4 =   1 2

Resposta

l i m x → 0 s e n 3 x - 3 x + x 2 s e n x s e n ( 2 x ) = 1 2

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