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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 20

Determine a derivada da função

f (t) = (t^2 - 1)/(t^2 + t - 2)

Passo 1

Vamos la, essa é uma questão perfeita para a gente treinar e pegar o ritmo. Com ela podemos usar os truques de derivação que ajudam muito nossa vida. Vou passo – a – passo pra ninguém se perder no processo. Desta vez vamos usar a regra do quociente. Se lembra dela ? Pode deixar, vou botar aqui em baixo. Com o tempo essas regrinhas vão tão comuns na sua vida, que você irá lembrar já de automático.

Então temos que :

(d)/(d x) ((f (x))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' ( x ))/(g^2 ( x ))

É quase igual à do produto, apenas alterando algumas coisinhas. Então, show! Vamos cair dentro do Cálculo. Aplicando a regra de derivação do quociente:

Passo 2

f (t) = (t^2 - 1)/(t^2 + t - 2)

f^' = ((t^2 - 1) ' (t^2 + t - 2) - (t^2 - 1) (t^2 + t - 2) ')/((t^2 + t - 2)^2)

f^' = ((2 t - 0) (t^2 + t - 2) - (t^2 - 1) (2 t + 1 - 0))/((t^2 + t - 2)^2)

f^' = ((2 t^3 + 2 t^2 - 4 t) - 2 t^3 - t^2 + 2 t + 1)/((t^2 + t - 2)^2)

f^' = (t^2 - 2 t + 1)/((t^2 + t - 2)^2)

Aqui tem um truquezinho que podemos fazer para deixar essa equação mais limpa. Vamos completar quadrado, em cima e embaixo :

f^' = ((t - 1)^2)/([ (t - 1) (t + 2) ]^2)

Olha só que legal!!! Há termos em comum no denominador e numerador, podemos elimina-los. Assim nossa derivada fica assim :

f^' = (1)/((t + 2)^2)

Agora sim, chegamos a um ponto onde não podemos mais avançar com nossas contas, então acabamos por aqui. De início te aconselho a ir devagarzinho mesmo. Assim você vai pegar o ritmo e confiança. #Partiu #ProximaQuestão

Resposta

f^' = (1)/((t + 2)^2)

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Calcule a derivada segunda.y = x^3 + 2 x - 3
Seja y = x 2 , onde x = x t é uma função derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d 2 y d t 2 = 2 d x d t 2 + 2 x d 2 x d t 2
Suponha que y = y r seja derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d d r r 2 + r d y d r = 2 r + 1 d y d r + r 2 + r d 2 y d r 2
Seja y = e^x cos x . Verifique que (d^2 y)/(d x^2) - 2 (d y)/(d x) + 2 y = 0 .
Calcule a derivada segunda.x = e^t cos t