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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 1i

Calcule a derivada.

i) y = root(3)(u) sec u

Passo 1

Vamos por em pratica um truque novo que pode nos ajudar muito a resolver nossos problemas daqui pra frente. Sempre que tivermos uma função “bela, recatada e do lar”, ou seja, bem-comportada e continua. Rsrs. Podemos usar esse truque que nos economiza tempo e não precisamos fazer derivada pela definição. Esse truque é Regra do Quociente.

A Regra do Quociente funciona assim

(d)/(d x) ((f ( x ))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' ( x ))/(g ² ( x ))

É quase uma regra do produto , com pequenas alterações. 😊 Então a derivada d y // d u será calculada assim:

y = root(3)(u) sec u

Podemos reescrever y como :

y = (root(3)(u))/(cos u)

A derivada será d y // d u , calculada assim:

(d y)/(d u) = (d)/(d u) (root(3)(u) sec u) -> (d)/(d u) ((root(3)(u))/(cos u))

Usamos a regra do quociente:

(d y)/(d u) = ((u^(1 // 3))^' cos u - u^(1 // 3) (cos u)^')/((cos u)^2)

(d y)/(d u) = (((1)/(3) u^(- 2 // 3)) cos u - u^(1 // 3) (- sen u))/(cos^2 u)

(d y)/(d u) = ((1)/(3) u^(- 2 // 3) cos u + u^(1 // 3) sen u)/(cos^2 u)

Prontinho terminamos por aqui, este truque demanda algumas questões de treino, mas continue nesse ritmo que você vai conseguir. te vejo na próxima resolução : )

Resposta

(d y)/(d u) = ((1)/(3) u^(- 2 // 3) cos u + u^(1 // 3) sen u)/(cos^2 u)

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Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada. 10 . g y = 3 s e n y - y c o s ( y )
Nos exercícios de 17 a 30, calcule a derivada indicada. 2 2 . d d x x + 4c o s ⁡ ( x )