Enunciado

Seja y = t 2 x , onde x = x ( t ) é uma função derivável. Calcule d y d t t = 1 supondo d x d t t = 1 = 2 e x = 3 para t = 1 (isto é, x 1 = 3 ).

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Repara que a questão nos deu uma função para derivar que função de outra. Então vamos começar organizando essa derivada!

Vamos calcular a derivada d y d t utilizando a regra do produto:

d y d t = d d t t 2 x

d y d t = t 2 ' x + t 2 d x d t

d y d t = 2 t x + t 2 d x d t

Repara que derivamos em função de t e em função de x . Agora vamos substituir os valores de acordo com o enunciado!

Passo 2

Agora, note que, quando t = 1 , temos x = 3 e d x d t = 2 . Então, vamos substituir esses valores na expressão da derivada que acabamos de encontrar:

d y d t t = 1 = 2 1 3 + 1 2 2

d y d t t = 1 = 8

Resposta

d y d t t = 1 = 8

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Seja y = (1)/(x) . Verifique que x^2 (d^3 y)/(d x^3) = 6 (d y)/(d x) .
Calcule a derivada segunda.y = x^3 + 2 x - 3
Seja y = x 2 , onde x = x t é uma função derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d 2 y d t 2 = 2 d x d t 2 + 2 x d 2 x d t 2
Suponha que y = y r seja derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d d r r 2 + r d y d r = 2 r + 1 d y d r + r 2 + r d 2 y d r 2
Seja y = e^x cos x . Verifique que (d^2 y)/(d x^2) - 2 (d y)/(d x) + 2 y = 0 .