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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 14

Determine a derivada da função vetorial.

r t = s e n 2   a t   i ^ + t e b t   j ^ + cos 2 ⁡ c t k ^

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... nos foi dada a seguinte equação vetorial:

r t = s e n 2   a t   i ^ + t e b t   j ^ + cos 2 ⁡ c t k ^

Onde a ,   b e c são constantes.

Queremos determinar a derivada r ' t .

Para isso, basta derivarmos as equações paramétricas individualmente em relação a t , certinho??

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Aplicando a derivada nas equações paramétricas, temos:

r ' t = d d t s e n 2   a t   i ^ + d d t t e b t   j ^ + d d t cos 2 ⁡ c t   k ^

A derivada da função s e n 2   a t é conseguida através da regra do produto.

d d t u ⋅ v = d u d t v + u d v d t

Assim, aplicando ao problema, temos:

d d t s e n 2   a t = d s e n   a t d t s e n   a t + s e n   a t d s e n   a t d t

Resolvendo, temos:

d d t s e n 2   a t = a cos ⁡ a t s e n   a t + s e n   a t a cos ⁡ a t

d d t s e n 2   a t = 2 a cos ⁡ a t s e n   a t

Por identidade trigonométrica, sabemos que 2 a sen ⁡ a t cos ⁡ a t = sen ⁡ 2 a t . Portanto:

d d t s e n 2   a t = sen ⁡ 2 a t

Passo 3

Para a derivada de t e b t também temos que aplicar a regra do produto.

d d t t e b t = d t d t e b t + t d e b t d t

Resolvendo, temos:

d d t t e b t = 1 e b t + t b e b t

d d t t e b t = e b t + t b e b t

Passo 4

Para a derivada de cos 2 ⁡ c t também temos que aplicar a regra do produto.

d d t cos 2 ⁡ c t = d cos ⁡ c t d t cos ⁡ c t + cos ⁡ c t d cos ⁡ c t d t

Resolvendo, temos:

d d t cos 2 ⁡ c t = c - sen ⁡ c t cos ⁡ c t + cos ⁡ c t c - sen ⁡ c t

d d t cos 2 ⁡ c t = - 2 c sen ⁡ c t cos ⁡ c t

Por identidade trigonométrica, sabemos que 2 c sen ⁡ c t cos ⁡ c t = sen ⁡ 2 c t . Portanto:

d d t cos 2 ⁡ c t = - sen ⁡ 2 c t

Logo, a derivada da equação será:

r ' t = sen ⁡ 2 a t i ^ + e b t + t b e b t   j ^ - sen ⁡ 2 c t k ^

Resposta

r ' t = sen ⁡ 2 a t i ^ + e b t + t b e b t   j ^ - sen ⁡ 2 c t k ^

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