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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 5

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Fala pessoal!!! O exercício nos pede para calcular o valor da integral de linha de :

∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y

Em que C é o arco de parábola y = x 2 de ( 0,0 ) até ( π , π 2 ) .

Beleza, o primeiro passo é entender quem é C e como podemos parametrizá-la .

Com essas informações poderemos substituir os valores da função original e achar os limites de integração.

Depois é só calcular a integral normalmente, bora lá !

Passo 2

O exercício nos informa que C é o arco de parábola:

y = x 2 de ( 0,0 ) até ( π , π 2 )

Nesse caso, é conveniente escolher x como parâmetro, sendo assim, as equações paramétricas para C são:

x = x

y = x 2

Show! Como escolhemos x como parâmetros podemos afirmar de acordo com os ponto do arco da parábola que :

    0 ≤ x ≤ π

Agora o próximo passo é achar quem será d x já que a variável mudou. Como :

y = x 2

Dizemos que :

d y = 2   x   d x

Beleza?

Agora vamos substituir as novas informações na nossa integral:

→ ∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y

Sabemos que :

x = x ,     0 ≤ x ≤ π

y = x 2

d y = 2   x   d x

Logo:

∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y = ∫ 0 π x 2 x 2 + s e n   x 2 x   d x

Fazendo as multiplicações

= 2 ∫ 0 π ( x 5 + x s e n   x ) d x

Passo 3

Agora, resolvendo a integral :

2 ∫ 0 π ( x 5 + x s e n   x ) d x

Podemos separá-la em duas parcelas para ficar mais fácil de calcular:

2 ∫ 0 π x 5 d x + ∫ 0 π x s e n   x   d x

Vamos começar pela primeira que é a mais simples:

∫ 0 π x 5 d x

1 6 x 6 0 π

1 6 ( π ) 6 - 1 6 ( 0 ) 6

∫ 0 π x 5 d x = 1 6 ( π ) 6

Vamos substituir em :

2 ∫ 0 π x 5 d x + ∫ 0 π x s e n   x d x

↓

2 1 6 ( π ) 6 + ∫ 0 π x s e n   x d x

Passo 4

Agora vamos para a segunda integral:

∫ 0 π x s e n   x   d x

Vamos resolver essa integral por partes, beleza?

∫ 0 π f ( x ) . g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - ∫ 0 π g ( x ) . f ´ ( x )   d x

onde :                                         f ( x ) = x   → f ' ( x ) = 1

g ' ( x ) = s e n     t     → g ( x ) = - c o s   t

Logo:

∫ 0 π x s e n   x   d x = x ( - c o s ( x ) )   + ∫ ( - c o s ( x ) )   d x  

∫ 0 π x s e n   x   d x = x ( - c o s ( x ) )   + s e n   x    

Sendo assim :

x ( - c o s ( x ) )   + s e n   x 0 π     π ( - c o s ( π ) )   + s e n   π - 0 ( - c o s ( 0 ) )   + s e n   0

    π ( - ( - 1 ) )   + 0 - 0 ( - 1 )   +   0

∫ 0 π x s e n   x   d x = π

Substituindo em :

2 1 6 ( π ) 6 + ∫ 0 π x s e n   x d x

↓

2 1 6 ( π ) 6 + π

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y = 1 3 π 6 + 2 π

Resposta

∫ ( x 2 y + s e n   x ) d y = 1 3 π 6 + 2 π

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