Enunciado

Determine o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto com valor de parâmetro dado t .

r → t = tan - 1 ⁡ t , 2 e 2 t , 8 t e t ,   t = 0

Passo 1

Olá, meu amigo. A gente precisa determinar o vetor tangente unitário T ( t ) da função:

r t = tan - 1 ⁡ t , 2 e 2 t , 8 t e t

No ponto:

t = 0

O vetor tangente unitário de uma função vetorial é dado por

T t = r ' t r ' t

Ele é um vetor tangente a curva parametrizada r ( t ) e seu modulo possui o valor 1 . Precisaremos então derivar a equação paramétrica de r t e encontrar o seu modulo também.

Como a gente quer o vetor unitário no ponto t = 0 , deveremos então substituir t = 0 nas derivadas de r ( t ) .

Passo 2

Vamos derivar r ( t ) com relação a t :

d d t r t = 1 1 + t 2 , 2 e 2 t 2 , 8 t e t + e t

d d t r t = 1 1 + t 2 , 4 e 2 t , 8 e t t + 1

Agora vamos aplicar t = 0 :

r 0 = tan - 1 ⁡ 0 , 2 e 2 0 , 8 0 e 0

r 0 = 0,2 , 0

d d t r 0 = 1 1 + 0 2 , 4 e 2 0 , 8 e 0 0 + 1

r ' 0 = 1 ,   4 ,   8

Passo 3

O vetor tangente unitário no ponto 0,2 , 0 é:

T 0 = r ' 0 r ' 0

Substituindo as derivadas:

T 0 = 1 ,   4 ,   8 1 2 + 4 2 + 8 2

Calculando o módulo:

T 0 = 1 ,   4 ,   8 81

Temos então que:

T 0 = 1 9 , 4 9 , 8 9

Resposta

T 0 = 1 9 , 4 9 , 8 9

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