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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 8f

Calcule a derivada segunda.

y = (e^x)/(x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = e^x

e

g (x) = x

Vamos agora só montar na fórmula:

y^' = (d y)/(d x) = (d)/(d x) ((e^x)/(x)) = ((e^x)/(x))^' = ((e^x)^' * (x) - (e^x) * (x) ')/((x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a da função exponencial:

h^' (x) = (e^x)^' = e^x * (x)^' = e^x * x^(1 - 1) = e^x * x^0 = e^x * 1 = e^x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra do polinômio:

g^' (x) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

y^' = (d y)/(d x) = ((e^x)/(x))^' = ((e^x)^' * (x) - (e^x) * (x) ')/((x)^2) = (e^x * (x) - (e^x) * 1)/(x^2) = (e^x x - e^x)/(x^2)

Passo 4

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora y^' :

y^(' ') = (y^')^' = (d^2 y)/(d x^2) = (d)/(d x) ((d y)/(d x)) = (d)/(d x) ((e^x x - e^x)/(x^2))^' = ((e^x x - e^x)^' * (x^2) - (e^x x - e^x) * (x^2) ')/((x^2)^2)

Entretanto vamos ter que usar a regra do produto para derivar (e^x x)^' :

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = e^x

e

g (x) = x

Assim:

(e^x x)^' = h^(' (x)) g (x) + g^(' (x)) h (x) = (e^x)^' * x + (x)^' * e^x = e^x * x + 1 * e^x = x e^x + e^x

Passo 5

Vamos agora substituir isso em y^(' ') :

y^(' ') = ((e^x x - e^x)^' * (x^2) - (e^x x - e^x) * (x^2) ')/((x^2)^2) = ((x e^x + e^x - e^x) * (x^2) - (e^x x - e^x) * 2 x)/(x^4) = ((x e^x) * (x^2) - 2 x^2 e^x + 2 x e^x)/(x^4) = (x^2 e^x - 2 x e^x + 2 e^x)/(x^3)

Resposta

y^(' ') = (x^2 e^x - 2 x e^x + 2 e^x)/(x^3)

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