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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.9 - Ex. 13

Seja y = t e^t . Verifique que (d^2 y)/(d t^2) - 2 (d y)/(d t) + y = 0 .

Passo 1

Para fazer a verificação vamos encontrar a primeira derivada (d y)/(d t) e a segunda derivada (d^2 y)/(d t^2) e substituir em:

(d^2 y)/(d t^2) - 2 (d y)/(d t) + y = 0

Passo 2

Vamos analisar a função, aqui vamos usar a regra do produto para achar (d y)/(d t) :

(h (t) g (t))^' = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t)

Temos que:

h (t) = t

e

g (t) = e^t

Assim:

(d y)/(d t) = (d)/(d t) (t e^t) = h ' (t) g (t) + g ' (t) h (t) = (t)^' * e^t + (e^t)^' * t

Passo 3

Vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

(t^n)^' = n t^(n - 1)

(e^(f (t)))^' = e^(f (t)) * f ( t ) '

Assim:

(d y)/(d t) = (t)^' * e^t + (e^t)^' * t = t^(1 - 1) * e^t + e^t * (t)^' * t = t^0 * e^t + e^t * t^(1 - 1) * t = 1 * e^t + e^t * t^0 * t = e^t + e^t * 1 * t = e^t (1 + t)

Passo 4

Agora vamos achar (d^2 y)/(d x^2) , e vamos usar mais uma regra, a da função constante:

(c)^' = 0

Aplicando ficamos com:

(d^2 y)/(d t^2) = (d)/(d t) ((d y)/(d t)) = (d)/(d t) (e^t (1 + t))^' = (e^t)^' * (1 + t) + (1 + t)^' * e^t = e^t * (t)^' * (1 + t) + (0 + t^(1 - 1)) * e^t = e^t * t^(1 - 1) * (1 + t) + t^0 * e^t = e^t * t^0 * (1 + t) + 1 * e^t = e^t * 1 * (1 + t) + e^t = e^t (1 + t) + e^t = e^t (1 + t + 1) = e^t (2 + t)

Passo 5

Vamos agora substituir as derivadas:

(d^2 y)/(d t^2) - 2 (d y)/(d t) + y = 0 -> e^t (2 + t) - 2 e^t (1 + t) + t e^t = 0 -> 2 e^t + t e^t - 2 e^t - 2 t e^t + t e^t = 0 -> 0 = 0

Pronto, verificamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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