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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 27

Determine a derivada das funções abaixo:

27 - (1)/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + x + 1 ))

Passo 1

Primeiramente devemos desfazer o produto notável:

(x^2 + 1) * (x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + 2 x^2 + x + 1

f (x) = (1)/(x^4 + x^3 + x + 1)

Como é uma derivada de divisão de funções, utilizaremos a regra do quociente:

((f)/(g))^' = (f^' xx g - f xx g^')/(g^2)

f = 1 e f^' = 0

g = x^4 + x^3 + x + 1 e g^' = 4 * x^(4 - 1) + 3 * x^(3 - 1) + 1 * x^(1 - 1) + 0

Assim:

g^' = 4 x^3 + 3 x^2 + 1

Passo 2

Como já estamos derivando a função g do denominador poderá ser reescrita da seguinte forma:

(x^2 + 1) * (x^2 + x + 1)

Substituindo teremos:

((f)/(g))^' = (0 xx ( x^4 + x^3 + x + 1 ) - 1 xx (4 x^3 + 3 x^2 + 1))/((x^2 + 1)^2 (x^2 + x + 1)^2)

Resolvendo:

(0 - 4 x^3 - 3 x^2 - 1)/((x^2 + 1)^2 (x^2 + x + 1)^2) = (- 4 x^3 - 3 x^2 - 1)/((x^2 + 1)^2 (x^2 + x + 1)^2)

Resposta

(- 4 x^3 - 3 x^2 - 1)/((x^2 + 1)^2 (x^2 + x + 1)^2)

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