Determine a derivada das funções abaixo:

27 - 1 / ((x^2 + 1)(x^2 + x + 1))

Passo 1

Primeiramente devemos desfazer o produto notável:

x 2 + 1 ⋅ x 2 + x + 1 = x 4 + x 3 + 2 x 2 + x + 1

f x = 1 x 4 + x 3 + x + 1

Como é uma derivada de divisão de funções, utilizaremos a regra do quociente:

f g ' = f ' × g - f × g ' g 2

f = 1   e   f ' = 0

g = x 4 + x 3 + x + 1   e   g ' = 4 ⋅ x 4 - 1 + 3 ⋅ x 3 - 1 + 1 ⋅ x 1 - 1 + 0  

Assim:

g ' = 4 x 3 + 3 x 2 + 1

Passo 2

Como já estamos derivando a função g do denominador poderá ser reescrita da seguinte forma:

x 2 + 1 ⋅ x 2 + x + 1

Substituindo teremos:

f g ' = 0 × ( x 4 + x 3 + x + 1 ) - 1 × 4 x 3 + 3 x 2 + 1 x 2 + 1 2 x 2 + x + 1 2

Resolvendo:

0 - 4 x 3 - 3 x 2 - 1 x 2 + 1 2 x 2 + x + 1 2 = - 4 x 3 - 3 x 2 - 1 x 2 + 1 2 x 2 + x + 1 2

Resposta

- 4 x 3 - 3 x 2 - 1 x 2 + 1 2 x 2 + x + 1 2

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