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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.8 - Ex. 3d

Determine a derivada de ordem n .

d) f (x) = ln x

Passo 1

Vamos derivar a função f (x) algumas vezes:

f^' = [f (x)]^' = [ln x]^' = (1)/(x)

f^(' ') = [f^']^' = [x^(- 1)]^' = - 1 x^(- 2) = - (1)/(x^2)

f^(' ' ') = [f^(' ')]^' = [- x^(- 2)]^' = - (- 2) x^(- 3) = (2)/(x^3)

f^((4)) = [f^(' ' ')]^' = [2 x^(- 3)]^' = 2 (- 3) x^(- 4) = - (6)/(x^4)

f^((5)) = [f^((4))]^' = [- 6 x^(- 4)]^' = - 6 (- 4) x^(- 5) = (24)/(x^5)

Passo 2

Parece haver um padrão nas derivadas, observe:

f^((6)) = [f^((5))]^' = [24 x^(- 5)]^' = 24 (- 5) x^(- 6) = (5 !)/(x^6)

f^((7)) = [5 ! x^(- 6)]^' = 5 ! (- 6) x^(- 7) = - (6 !)/(x^7)

f^((8)) = [- 6 ! x^(- 7)]^' = - 6 ! (- 7) x^(- 8) = (7 !)/(x^8)

Percebeu? Então a derivada de ordem n será:

f^((n)) (x) = (- 1)^(n + 1) ((n - 1) !)/(x^n)

Resposta

f^((n)) (x) = (- 1)^(n + 1) ((n - 1) !)/(x^n)

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