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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.8 - Ex. 3b

Determine a derivada de ordem n .

b) f (x) = sen x

Passo 1

Oi, galerinha! Nessa questão a ideia é derivar a função seno a fim de se encontrar um padrão para uma derivada de ordem n .

Vamos derivar a função f (x) algumas vezes:

f^' = [f (x)]^' = [sen x]^' = cos x

f^(' ') = [f^']^' = [cos x]^' = - sen x

f^(' ' ') = [f^(' ')]^' = [- sen x]^' = - cos x

f^((4)) = [f^(' ' ')]^' = [- cos x]^' = sen x

f^((5)) = [f^((4))]^' = [sen x]^' = cos x

Repara que a nossa derivada de ordem 4 é igual a nossa função original

f^((4)) = [- cos x]^' = sen x = f = f^(( 0 ))

E a nossa derivada de ordem 5 é igual a nossa derivada de primeira ordem

f^((5)) = [sen x]^' = cos x = f^'

Vamos confirmar se temos um padrão se repetindo!

Passo 2

Perceba que um padrão vai começar a se repetir:

f^(( 6 )) = - sen x = f^((2))

f^(( 7 )) = - cos x = f^((3))

f^((8)) = sen x = f^(( 4 )) = f^((0))

f^((9)) = f^((5)) = f^((1))

Deste modo, a cada quatro derivadas, o padrão se repete. Então a derivada de ordem n será:

f^((n)) (x) = {[[sen x , s e n = 4 m + 0],[cos x , s e n = 4 m + 1],[- sen x , s e n = 4 m + 2],[- cos x , s e n = 4 m + 3]])

onde m in N .

Resposta

f^((n)) (x) = {[[sen x , s e n = 4 m + 0],[cos x , s e n = 4 m + 1],[- sen x , s e n = 4 m + 2],[- cos x , s e n = 4 m + 3]])

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