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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 67

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y =   2 x  

Passo 1

Queremos determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. As derivadas de funções positivas dadas por fórmulas que envolvem produtos, quocientes e potências podem, muitas vezes ser encontradas mais rapidamente se calcularmos o logaritmo natural em ambos os lados da equação antes de derivar. Então façamos:

y =   2 x  

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 x

Agora, devemos derivar implicitamente em ambos os lados

Observe que ln ⁡ y ' = 1 y d y d x

Para derivarmos ln ⁡ 2 x   devemos utilizar a regra da cadeia

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia , temos:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f =   l n   u   e u =   2 x

d d u ln ⁡ u =   1 u

Substituindo u por 2 x :

d d u ln ⁡ 2 x =   1 2 x

d u d x 2 x = 2 x . ln ⁡ 2

Assim,

d f ( u ) d x =   1 2 x . 2 x . ln ⁡ 2

Após simplificar, obtemos:

d f ( u ) d x = ln ⁡ 2

Passo 3

Agora, devemos substituir na equação dada:

ln ⁡ y ' = ln ⁡ 2 x '

1 y d y d x = ln ⁡ 2

d y d x = y ln ⁡ 2

Como y = 2 x substituímos na equação acima:

d y d x = 2 x ln ⁡ 2

Resposta

d y d x = 2 x ln ⁡ 2

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