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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 64

Determine D y // D x d e l n x y = e^(x + y)

Passo 1

Bom, o enunciado pede a derivada de Y em relação a X. Para isso, vamos utilizar a derivação implícita. Portanto, vamos derivar implicitamente ambos os lados da equação. Façamos:

l n x y = e^(x + y)

Vamos fazer por partes, primeiro vamos derivar ln xy, passo a passo e em seguida derivamos e^(x + y) p a r a a o f i n a l f a z e m o s a s s u b s t i t u i ç õ e s n e c e s s á r i a s . E n t ã o v a m o s l á :

Passo 2

Para o termo l n x y , aplicamos a regra da cadeia:

(d f ( u ))/(d x) = (d f)/(d u) . (d u)/(d x)

Considere f = l n u e u = x y

(d)/(d u) l n u = (1)/(u) = (1)/(x y)

(d)/(d x) ( x y ) = y + x (d y)/(d x)

Por conveniência, vamos escrever (d y)/(d x) como y ' ok?

(d)/(d x) ( x y ) = y + x y '

(d y)/(d x) ln (x y) = (1)/(x y) . (y + x y^') = (y + x y ')/(x y)

Passo 3

Agora, vamos derivar o termo e^(x + y) . Vamos aplicar novamente a regra da cadeia:

(d f ( u ))/(d x) = (d f)/(d u) . (d u)/(d x)

Considere f = e^u e u = x + y

(d)/(d u) e^u = e^u = e^(x + y)

Agora, façamos:

(d)/(d x) ( x + y ) = 1 + (d y)/(d x)

Por conveniência, vamos escrever (d y)/(d x) como y ' ok?

(d)/(d x) ( x + y ) = 1 + y '

Logo, a derivada de e^(x + y) é e^(x + y) (1 + y ')

Passo 4

Agora, que temos a derivada de cada um dos termos, vamos substituir os valores encontrados nos passos 2 e 3. Lembrando que queremos D y // D x d e l n x y = e^(x + y)

(y + x y ')/(x y) = e^(x + y) (1 + y ')

y + x y ' = e^(x + y) (1 + y ') . x y

y + x y^' = e^(x + y) . x y (1 + y^')

y + x y^' = e^(x + y) . x y + e^(x + y) . x y y '

x y^' = e^(x + y) . x y + e^(x + y) . x y y^' - y

x y^' - e^(x + y) . x y y^' = e^(x + y) . x y - y

x y^' (1 - e^(x + y) . y) = - e^(x + y) . x y - y

y^' = (e^(x + y) . x y - y)/(x (1 - e^(x + y) . y))

Resposta

(d y)/(d x) = (e^(x + y) . x y - y)/(x ( 1 - e^(x + y) . y ))

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