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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 81

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   θ   s e n   log 7 ⁡ θ

Passo 1

Queremos a derivada de y em relação a variável θ. Para isso, vamos derivar ambos os lados e utilizar a regra do produto. Lembre que f . g ' = f ' . g + f . g '

Assim, teremos:

d y d θ =   sin ⁡ ( log 7 ⁡ θ ) +   θ . sin ⁡ log 7 ⁡ θ '

Passo 2

Agora, precisamos derivar o termo sin ⁡ log 7 ⁡ θ ' para isso, utilizamos a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f =   sin ⁡ u e u = log 7 ⁡ θ

d f d u = cos ⁡ u = cos ⁡ log 7 ⁡   θ

d u d x =   1 θ ln ⁡ 7

Assim,

sin ⁡ log 7 ⁡ θ ' =   cos ⁡ ( log 7 ⁡   θ ) .   1 θ ln ⁡ 7

Passo 3

Agora, substituímos o valor encontrado:

d y d θ =   sin ⁡ ( log 7 ⁡ θ ) +   θ . sin ⁡ log 7 ⁡ θ '

d y d θ =   sin ⁡ ( log 7 ⁡ θ ) +   θ . cos ( ⁡ log 7 ⁡   θ ) .   1 θ ln ⁡ 7

Fazemos as simplificações e encontramos:

d y d θ =   sin ⁡ ( log 7 ⁡ θ ) +     cos ( ⁡ log 7 ⁡   θ ) ln ⁡ 7

Resposta

d y d θ =   sin ⁡ ( log 7 ⁡ θ ) +     cos ( ⁡ log 7 ⁡   θ ) ln ⁡ 7

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