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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 93

Determine a tangente de y = ((x - 1)/(x + 1))^2 em x = 0

Passo 1

Questão direta ao ponto. Quando ela nos pede para determinar a tangente, é determinar a reta tangente. Isto é:

y - y_0 = m ( x - x_0 )

Em que ( x_0 , y_0 ) são as coordenadas do ponto de tangência. A questão já nos deu x_0 = 0 , falta descobrirmos y_0 , através de substituição direta na equação da tangente.

Mas e o coeficiente angular m ? Como obteremos? Simples! Vamos utilizar nossos conhecimentos de derivadas! Desta forma, o nosso conhecimento m nada mais é que:

m = y^' (x_0) = f ' ( x_0 )

Passo 2

Vamos começar por determinar a coordenada y_0 . Substituindo x = 0 na equação da nossa curva, temos:

y = ((0 - 1)/(0 + 1))^2 = (- 1)^2 = 1

Logo, y_0 = 1 .

Passo 3

Vamos agora começar a determinar o coeficiente angular m . Para isto, derivaremos a nossa curva.

[y]^' = [((x - 1)/(x + 1))^2]^'

(d y)/(d x) = 2 * ((x - 1)/(x + 1)) * [(x - 1)/(x + 1)]^'

(d y)/(d x) = 2 * ((x - 1)/(x + 1)) * [((x - 1)^' * (x + 1) - (x - 1) * (x + 1)^')/((x + 1)^2)]

(d y)/(d x) = 2 * ((x - 1)/(x + 1)) * [(1 * (x + 1) - (x - 1) * 1)/((x + 1)^2)]

(d y)/(d x) = 2 * ((x - 1)/(x + 1)) * [(x + 1 - x + 1)/((x + 1)^2)]

(d y)/(d x) = 2 * ((x - 1)/(x + 1)) * [(2)/((x + 1)^2)]

Passo 4

Vamos substituir o valor x = 0 na equação do coeficiente angular. Assim, obtemos:

(d y)/(d x) = 2 * ((0 - 1)/(0 + 1)) * [(2)/((0 + 1)^2)]

(d y)/(d x) = 2 * (- 1) * (2) = - 4

Logo, m = - 4 .

Passo 5

Substituindo todos os dados na equação da reta, obtemos:

y - 1 = - 4 ( x - 0 )

y = - 4 x + 1

Resposta

y = - 4 x + 1

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