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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 79

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   log 3 ⁡ x + 1 x - 1 ln ⁡ 3

Passo 1

Bom, antes de começar a derivar precisamos lembrar da seguinte propriedade de logaritmos:

log a ⁡ b =   ln ⁡ b ln ⁡ a

Sabendo disso, vamos escrever a expressão do enunciado da seguinte maneira:

y =   ln ⁡ x + 1 x - 1 ln ⁡ 3 ln ⁡ 3

Passo 2

Agora, derivamos em ambos os lados. Observe que o fator 1 ln ⁡ 3   vai para frente como uma constante. Ok?

y ' = 1 ln ⁡ 3 .   d d x l n x + 1 x - 1 ln ⁡ 3

Vamos resolver isoladamente d d x l n x + 1 x - 1 ln ⁡ 3 . E depois juntaremos tudo. Beleza?

Passo 3

Para resolver d d x l n x + 1 x - 1 ln ⁡ 3 . Vamos utilizar a regra da cadeia. Está lembrado?

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = ln ⁡ u e u =   x + 1   x - 1 ln ⁡ 3

d f d u =   1 u =   1 x + 1   x - 1 ln ⁡ 3 = x + 1   x - 1 - ln ⁡ 3  

Agora, para resolver d d x x + 1   x - 1 ln ⁡ 3 . Vamos recorrer novamente para a regra da cadeia. Observe no próximo passo.

Passo 4

Queremos agora resolver d d x x + 1   x - 1 ln ⁡ 3 . Para isso, considere: f =   u ln ⁡ 3 e u =   x + 1   x - 1

Assim, temos d f d u = ln ⁡ 3 .   u ln ⁡ 3 - 1 = ln ⁡ 3 . x + 1 x - 1 ln ⁡ 3 - 1

E d u d x =   x - 1 - ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2 = - 2 ( x - 1 ) 2

Passo 5

Agora, precisamos unir os resultados encontrados nos passos 3 e 4. Beleza?

y ' =   1 ln ⁡ 3 .   x + 1   x - 1 - ln ⁡ 3 .   ln ⁡ 3 . x + 1 x - 1 ln ⁡ 3 - 1 . - 2 ( x - 1 ) 2

Vamos escrever y’ como d y d x .Agora é só realizar as simplificações e encontraremos:

d y d x =   x + 1   x - 1 - 1 .   - 2 ( x - 1 ) 2

d y d x =   x - 1   x + 1 .   - 2 ( x - 1 ) 2

d y d x = - 2 x + 1 . ( x - 1 )

Resposta

d y d x = - 2 x + 1 . ( x - 1 )

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