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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 87

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   log 2 ⁡ ( 8 t ln ⁡ 2 )

Passo 1

Antes de derivar vamos utilizar a seguinte propriedade de logaritmos:

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Assim, podemos reescrever a equação dada como:

y =   ln ⁡ 8 t ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 =   1 ln ⁡ 2 . ln ⁡ 8 t ln ⁡ 2  

Passo 2

Agora devemos derivar em ambos os lados, beleza?

y ' =   1 ln ⁡ 2 .   ( ln ⁡ 8 t ln ⁡ 2 ) '

Passo 3

Vamos derivar o termo ( ln ⁡ e x ) ' utilizando a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = ln ⁡ u   e u =   e x

d f d u =   1 u =   1 8 t ln ⁡ 2

d u d x = ln ⁡ 2 .   8 t ln ⁡ 2 - 1

Passo 4

Fazendo as substituições, encontramos:

y ' =   1 ln ⁡ 2 . 1 8 t ln ⁡ 2   ln ⁡ 2 .   8 t ln ⁡ 2 - 1

y ' =   1 t ln ⁡ 2 .   t ln ⁡ 2 - 1

y ' =   t - ln ⁡ 2 .   t ln ⁡ 2 - 1

y ' =   t - 1

y ' =   1 t

Resposta

d y d t =   1 t

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