Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 93
Use a regra da cadeia para demonstrar o que segue.
a) A derivada de uma função par é uma função ímpar.
b) A derivada de uma função ímpar é uma função par.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Essa questão pede pra gente fazer duas importante demonstrações.
No item a) vamos usar a regra da cadeia para demonstrar que a derivada de uma função par é uma função ímpar.
E no item b) vamos também usar a regra da cadeia para demonstrar que a derivada de uma função ímpar é uma função par.
Para isso, vamos relembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:
Uma função é par se
Por outro lado, uma função é ímpar se
Para demonstrar o que o foi pedido, pegaremos estas relações e as derivaremos pela regra da cadeia, já que temos pela definição temos a função dentro da função .
Belezinha, vamos lá!
Passo 2
Seja uma função par, então vale
Derivando essa equação pela regra da cadeia faremos a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
Assim, como , vemos que se é par, é ímpar.
Passo 3
Seja agora uma função ímpar, assim
Podemos derivar essa expressão:
Como obtivemos que , vemos que se é ímpar, é par!
Resposta
Demonstração.