Use a regra da cadeia para demonstrar o que segue.

a) A derivada de uma função par é uma função ímpar.

b) A derivada de uma função ímpar é uma função par.

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Essa questão pede pra gente fazer duas importante demonstrações.

No item a) vamos usar a regra da cadeia para demonstrar que a derivada de uma função par é uma função ímpar.

E no item b) vamos também usar a regra da cadeia para demonstrar que a derivada de uma função ímpar é uma função par.

Para isso, vamos relembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:

Uma função é par se

f - x = f x

Por outro lado, uma função é ímpar se

f - x = - f ( x )

Para demonstrar o que o foi pedido, pegaremos estas relações e as derivaremos pela regra da cadeia, já que temos pela definição temos a função - x dentro da função f x .

Belezinha, vamos lá!

Passo 2

Seja f uma função par, então vale

f x = f ( - x )

Derivando essa equação pela regra da cadeia faremos a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.

f ' x = f ' - x ⋅ - x '

f ' x = - f ' ( - x )

Assim, como f ' x = - f ' ( - x ) , vemos que se f é par, f ' é ímpar.

Passo 3

Seja agora f uma função ímpar, assim

f x = - f ( - x )

Podemos derivar essa expressão:

f ' x = - f ' - x ⋅ - x '

f ' x = f ' ( - x )

Como obtivemos que f ' x = f ' ( - x ) , vemos que se f é ímpar, f ' é par!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados