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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 93

determine a derivada usando a definição de f (t) = (1)/(2 t + 1)

Passo 1

A definição da derivada é: underset(h -> 0)(lim) (f (t + h) - f ( t ))/(h) , então vamos usar a função dada nessa definição

Passo 2

underset(h -> 0)(lim) (f (t + h) - f ( t ))/(h)

underset(h -> 0)(lim) ((1)/(2 (t + h) + 1) - (1)/(2 t + 1))/(h)

Passo 3

Agora precisamos manipular a expressão para conseguir eliminar a indeterminação:

underset(h -> 0)(lim) ((2 t + 1 - ( 2 t + 2 h + 1 ))/(( 2 (t + h) + 1 ) ( 2 t + 1 )))/(h)

underset(h -> 0)(lim) ((- 2 h)/(( 2 (t + h) + 1 ) ( 2 t + 1 )))/(h)

Simplificando:

underset(h -> 0)(lim) (- 2)/(( 2 (t + h) + 1 ) ( 2 t + 1 ))

Resta agora apenas substituir h por 0 e obtemos a resposta.

Resposta

f^' (t) = (- 2)/(( 2 t + 1 ) ²)

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