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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 30

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x 5 3 - 5 x 2 3

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a curva

y = x 5 3 - 5 x 2 3

E nosso objetivo é esboçar o gráfico de y usando o roteiro dessa seção.

Lembra como fazemos isso?

O roteiro dessa seção pede para seguirmos um caminho para esboçar o gráfico de qualquer curva... vamos lembrar o que diz esse roteiro.

1° Dominio: Temos que primeiramente determinar o domínio da curva para sabermos onde nossa função é definida.

2° Intersecção com os eixos: aqui vamos fazer y = 0 para saber quais valores de x a curva intersecta o eixo x e x = 0 para saber onde a curva intersecta o eixo y .

3° Simetria: Vamos verificar se f - x = f x para ver se a curva possui simetria par, se f - x = - f x para ver se a curva possui simetria ímpar e se f x + p = f x para ver se a função é periódica.

4° Assíntotas: Para verificar se a curva possui assíntotas horizontais, fazemos

lim x → ∞ ⁡ y = L 1 ,     lim x → - ∞ ⁡ y = L 2

Já para verificar se a curva possui assíntotas verticais, temos que analisar a curva nos pontos de descontinuidade x = a

lim x = a ⁡ y

5° Intervalos de crescimento e decrescimento: Vamos calcular a derivada da curva e analisando o intervalo onde f ' > 0 , a função é crescente e quando f ' < 0 a função é decrescente.

6° Máximos e mínimos: Para encontrar os pontos de máximos e mínimos, fazemos f ' = 0 para obter os pontos críticos, calculamos f ' ' e substituímos os pontos que encontramos... se f ' ' < 0 , o ponto é de máximo e se f ' ' > 0 o ponto é de mínimo.

7° Concavidade e pontos de inflexão: A concavidade da curva está relacionada com o sinal da segunda derivada... então se f ' ' > 0 , a concavidade é voltada para cima e se f ' ' < 0 a concavidade é voltada para baixo... quando f ' ' = 0 temos um ponto de inflexão.

Bora começar!

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio da curva

y = x 5 3 - 5 x 2 3

Tanto o termo x 5 3 quanto o termo 5 x 2 3 não possuem restrições no seu domínio, então o domínio da nossa função pode ser definido como todos os valores reais...

D o m y = x ∈ R

Agora precisamos achar os interceptos com os eixos...

Fazendo y = 0 , temos x 5 3 - 5 x 2 3 = 0

x 2 3 x 2 - 5 x 1 = 0

Com isso temos que x 2 / 3 = 0 ou x 2 - 5 x 1 = 0

Para o primeiro caso, temos que

x = 0

Para o segundo caso, temos que

x 2 - 5 x 1 = 0

x 2 = 5 x 1

x 2 - 1 = 5

x = 5

Fazendo x = 0 , temos

y = 0

Então a curva passa pela origem e corta o eixo x em x = 5 !

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos analisar a simetria da função...

Primeiro vamos ver se f - x = f x

- x 5 3 - 5 - x 2 3 = x 5 3 - 5 x 2 3

- x 5 3 - 5 x 2 3 = x 5 3 - 5 x 2 3

Como a igualdade não bateu, a função não possui simetria par...

Para f - x = - f x

- x 5 3 - 5 - x 2 3 = - x 5 3 - 5 x 2 3

- x 5 3 - 5 x 2 3 = - x 5 3 + 5 x 2 3

Novamente a igualdade não bateu então y também não tem simetria ímpar

Agora vamos analisar as assíntotas...

Nossa função é continua em todo o domínio, então não temos assíntotas verticais...

Quando vamos verificar se temos assíntotas horizontais, obtemos que

lim x → ∞ ⁡ x 5 3 - 5 x 2 3 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 5 3 - 5 x 2 3 = - ∞

Então não temos assíntotas horizontais também...

Show?

Passo 4

Agora vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento...

Primeiro vamos calcular a primeira e a segunda derivada de y

Pela regra da potência, temos

y ' = d x 5 3 - 5 x 2 3 d x

y ' = 5 3 x 2 3 - 10 3 x - 1 3

Calculando a segunda derivada...

y ' ' = d 5 3 x 2 3 - 10 3 x - 1 3 d x

y ' ' = 10 9 x - 1 3 + 10 9 x - 4 3

Bacana?

Passo 5

Agora sim... analisando a inclinação de y , temos que a curva é crescente quando y ' > 0 , ou seja

5 3 x 2 3 - 10 3 x - 1 3 > 0 → 5 3 x 2 3 > 10 3 x - 1 3

x > 2

Essa inequação é válida para x < 0 pois para valores negativos, 5 3 x 2 3 é sempre maior que 10 3 x - 1 3 e também quando x > 2 .

E a curva decresce quando y ' < 0 ...

5 3 x 2 3 - 10 3 x - 1 3 < 0 → 5 3 x 2 3 < 10 3 x - 1 3

x < 2

Essa inequação só é válida para 0 < x < 2

Nesse caso, como a função cresce até x = 0 e depois decresce até x = 2 e depois cresce continuamente... podemos afirmar que x = 2 é um ponto de mínimo e x = 0 é um ponto de máximo.

y 0 = 0 5 3 - 5 0 2 3 = 0

y 2 = 2 5 3 - 5 2 2 3 = - 4,76

Estamos quase lá!

Passo 6

Por fim, vamos analisar os intervalos das concavidades e os pontos de inflexão...

Temos uma concavidade voltada para cima quando y ' ' > 0

10 9 x - 1 3 + 10 9 x - 4 3 > 0

10 9 x - 1 3 > - 10 9 x - 4 3

x 4 3 - 1 3 > - 1

x > - 1

E a concavidade para baixo quando y ' ' < 0

10 9 x - 1 3 < - 10 9 x - 4 3

x 4 3 - 1 3 < - 1

x < - 1

Se fizermos y ' ' = 0 para encontrar os pontos de inflexão, vamos obter

10 9 x - 1 3 = - 10 9 x - 4 3

x 4 3 - 1 3 = - 1

x = - 1

Por fim! Juntando tudo que encontramos até aqui, podemos esboçar a nossa curva como:

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

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