Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 20
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a curva
E nosso objetivo é esboçar o gráfico de usando o roteiro dessa seção.
Lembra como fazemos isso?
O roteiro dessa seção pede para seguirmos um caminho para esboçar o gráfico de qualquer curva... vamos lembrar o que diz esse roteiro.
- 1° Domínio: Temos que primeiramente determinar o domínio da curva para sabermos onde nossa função é definida.
- 2° Intersecção com os eixos: aqui vamos fazer para saber quais valores de a curva intersecta o eixo e para saber onde a curva intersecta o eixo .
- 3° Simetria: Vamos verificar se para ver se a curva possui simetria par, se para ver se a curva possui simetria ímpar e se para ver se a função é periódica.
- 4° Assíntotas: Para verificar se a curva possui assíntotas horizontais, fazemos
- Já para verificar se a curva possui assíntotas verticais, temos que analisar a curva nos pontos de descontinuidade
- 5° Intervalos de crescimento e decrescimento: Vamos calcular a derivada da curva e analisando o intervalo onde , a função é crescente e quando a função é decrescente.
- 6° Máximos e mínimos: Para encontrar os pontos de máximos e mínimos, fazemos para obter os pontos críticos, calculamos e substituímos os pontos que encontramos... se , o ponto é de máximo e se o ponto é de mínimo.
- 7° Concavidade e pontos de inflexão: A concavidade da curva está relacionada com o sinal da segunda derivada... então se , a concavidade é voltada para cima e se a concavidade é voltada para baixo... quando temos um ponto de inflexão.
Bora começar!
Passo 2
Nosso primeiro passo é calcular o domínio da curva
Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:
E tambem
O domínio predominante foi já que ele é o mais restritivo...
Então o domínio de é
Passo 3
Agora precisamos achar os interceptos com os eixos...
Fazendo , temos
Não temos um valor que satisfaça essa igualdade, então a curva não cruza o eixo
O ponto não está dentro do nosso domínio, então a curva tambem não cruza o eixo
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora vamos analisar a simetria da função...
Como não está definido para valores menores que , nossa função não possui nenhuma simetria...
Agora vamos analisar as assíntotas... começando pelas assíntotas horizontais:
Como a curva está definida apenas para maiores que , podemos descartar a possibilidade de ter uma assíntota em
Se tende a , temos
Para resolver esse limite, vamos multiplicar e dividir nossa função pelo seu conjugado
Como o limite convergiu para , temos uma assíntota em nesse gráfico.
Para verificar se há assíntotas verticais, a única possibilidade é que possa ter em pois nosso domínio é contínuo a partir desse ponto...
Então não temos assíntotas verticais pois o limite não tendeu a .
Show?
Passo 5
Agora vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento...
Primeiro vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
Pela regra da potência, temos
Aplicando a regra da cadeia na derivada de ...
Passo 6
Calculando a segunda derivada pela regra do quociente...
Aplicando a regra do produto na derivada de
Já calculamos a derivada de anteriormente...
Simplificando o numerador...
Bacana?
Passo 7
Agora sim... analisando a inclinação de , temos que a curva é crescente quando , ou seja
Não temos um valor que satisfaça essa inequação, portanto não temos intervalos crescentes na curva.
E a curva decresce quando ...
Já essa inequação é válida para todos os valores, logo podemos concluir que é estritamente decrescente.
Consequentemente, não temos pontos críticos e o ponto máximo acontece em , que é o começo do gráfico
Estamos quase lá!
Passo 8
Por fim, vamos analisar os intervalos das concavidades e os pontos de inflexão...
Temos uma concavidade voltada para cima quando
Como é sempre ...
Essa inequação é válida para todos os valores de pois
Logo a nossa curva possui apenas uma concavidade voltada para cima!
Consequentemente, não temos pontos de inflexão aqui pois não temos mudanças de concavidade...
Passo 9
Por fim! Juntando tudo que encontramos até aqui, podemos esboçar a nossa curva como:
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
