Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   3 log 2 ⁡ t

Passo 1

Bom, antes de resolver precisamos fazer alguns ajustes para facilitar nosso cálculo, beleza??

Vamos então aplicar a seguinte propriedade dos expoentes:

a b =   e b ln ⁡ a

Assim, podemos escrever 3 log 2 ⁡ t   como e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

Passo 2

Agora, derivamos em ambos os lados:

d y d x =   d d x e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

Vamos derivar o termo e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 utilizando a regra da cadeia:

d f ( u ) d t =   d f d u . d u d t

Considere f =   e u e u =   log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

d f d u =   e u

d u d t = ln ⁡ 3 .   ( log 2 ⁡ t )’

d u d t = ln ⁡ 3   . 1 t ln ⁡ 2

d u d t =   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

Passo 3

Agora, é só substituir , beleza?

d y d x =   e u .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

d y d x =   e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

Para o termo e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 vamos precisar lembrar da seguinte propriedade de logaritmos:

a log a ⁡ b = b

e ln ⁡ 3 = 3

e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 =   3 log 2 ⁡ t

Agora, é só substituir no resultado acima:

d y d x =   3 log 2 ⁡ t .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

d y d x =   ln ⁡ 3   . 3 log 2 ⁡ t   t ln ⁡ 2

Resposta

d y d x =   ln ⁡ 3   . 3 log 2 ⁡ t   t ln ⁡ 2

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30- Seja f : R → R derivável até a 2.a ordem e tal que, para todo x, f " ( x ) + 4 f ( x ) = 0 Mostre que, para todo x, d d x [ f ' x s e n ( 2 x ) - 2 cos ⁡ ( 2 x ) f ( x ) ] = 0
31- Sejam f : R → R derivável até a 2.a ordem e h dada por h x = f f x . Verifique que, para todo x, h " ( x ) = f " f x f ' x 2 +f ' f x f "( x ) .
Calcule (phi (phi (x)))^' .phi (x) = sen x phi (x) = (1)/(x) phi (x) = ln (x^2 + 1) phi (x) = e^(x^2)
Suponha que f x = x 2 e g x = x . Então as funções compostas: f ° g x = x 2 = x 2 e g ° f = x 2 = x 2 São ambas deriváveis em x = 0 , muito embora g em si não seja derivável em x = 0 . Isso contradiz