Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y = 3^(log_2(t))

Passo 1

Bom, antes de resolver precisamos fazer alguns ajustes para facilitar nosso cálculo, beleza??

Vamos então aplicar a seguinte propriedade dos expoentes:

a b =   e b ln ⁡ a

Assim, podemos escrever 3 log 2 ⁡ t   como e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

Passo 2

Agora, derivamos em ambos os lados:

d y d x =   d d x e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

Vamos derivar o termo e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 utilizando a regra da cadeia:

d f ( u ) d t =   d f d u . d u d t

Considere f =   e u e u =   log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

d f d u =   e u

d u d t = ln ⁡ 3 .   ( log 2 ⁡ t )’

d u d t = ln ⁡ 3   . 1 t ln ⁡ 2

d u d t =   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

Passo 3

Agora, é só substituir , beleza?

d y d x =   e u .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

d y d x =   e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

Para o termo e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 vamos precisar lembrar da seguinte propriedade de logaritmos:

a log a ⁡ b = b

e ln ⁡ 3 = 3

e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 =   3 log 2 ⁡ t

Agora, é só substituir no resultado acima:

d y d x =   3 log 2 ⁡ t .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

d y d x =   ln ⁡ 3   . 3 log 2 ⁡ t   t ln ⁡ 2

Resposta

d y d x =   ln ⁡ 3   . 3 log 2 ⁡ t   t ln ⁡ 2

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30- Seja f: R → R derivável até a 2.a ordem e tal que, para todo x, f"(x) + 4f(x) = 0 Mostre que, para todo x,d / dx [ f' (x) sen(2x) - 2 cos(2x) f(x) ] = 0
31- Sejam f: R → R derivável até a 2.a ordem e h dada por h(x) = f(f(x)) . Verifique que, para todo x, h''(x) = f''(f(x)) * (f'(x))^2 + f'(f(x)) * f''(x) .
Calcule φ'(φ(x)) .φ(x) = sen(x) φ(x) = 1 / x φ(x) = ln(x^2 + 1) φ(x) = e^(x^2)
Suponha que f(x) = x^2 e g(x) = |x| . Então as funções compostas:f°g(x) = |x|^2 = x^2 e g°f = | x^2 | = x^2 São ambas deriváveis em x = 0 , muito embora g em si não seja derivável em x = 0 . Isso cont