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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 85

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   3 log 2 ⁡ t

Passo 1

Bom, antes de resolver precisamos fazer alguns ajustes para facilitar nosso cálculo, beleza??

Vamos então aplicar a seguinte propriedade dos expoentes:

a b =   e b ln ⁡ a

Assim, podemos escrever 3 log 2 ⁡ t   como e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

Passo 2

Agora, derivamos em ambos os lados:

d y d x =   d d x e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

Vamos derivar o termo e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 utilizando a regra da cadeia:

d f ( u ) d t =   d f d u . d u d t

Considere f =   e u e u =   log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3

d f d u =   e u

d u d t = ln ⁡ 3 .   ( log 2 ⁡ t )’

d u d t = ln ⁡ 3   . 1 t ln ⁡ 2

d u d t =   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

Passo 3

Agora, é só substituir , beleza?

d y d x =   e u .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

d y d x =   e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

Para o termo e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 vamos precisar lembrar da seguinte propriedade de logaritmos:

a log a ⁡ b = b

e ln ⁡ 3 = 3

e log 2 ⁡ t . ln ⁡ 3 =   3 log 2 ⁡ t

Agora, é só substituir no resultado acima:

d y d x =   3 log 2 ⁡ t .   ln ⁡ 3 t ln ⁡ 2

d y d x =   ln ⁡ 3   . 3 log 2 ⁡ t   t ln ⁡ 2

Resposta

d y d x =   ln ⁡ 3   . 3 log 2 ⁡ t   t ln ⁡ 2

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