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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5g

Calcule a derivada segunda.

y = ln (x^2 + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, ela é uma função logarítmica natural, vamos ter então que usar a fórmula da função logarítmica natural, da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y^' :

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (ln (x^2 + 1))^' = (1)/(x^2 + 1) * (x^2 + 1)^' = (1)/(x^2 + 1) * (2 x^(2 - 1) + 0) = (1)/(x^2 + 1) * (2 x) = (2 x)/(x^2 + 1)

Passo 2

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, porém vamos usar mais uma, a regra da divisão, derivando agora y^' :

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = 2 x

e

g (x) = x^2 + 1

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = ((2 x)/(x^2 + 1))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((2 x)^' (x^2 + 1) - (2 x) (x^2 + 1)^')/([x^2 + 1]^2) = ((2 x^(1 - 1)) (x^2 + 1) - (2 x) (2 x^(2 - 1) + 0))/((x^2 + 1)^2) = ((2 x^0) (x^2 + 1) - (2 x) (2 x))/((x^2 + 1)^2) = ((2 * 1) (x^2 + 1) - 4 x^2)/((x^2 + 1)^2) = (2 (x^2 + 1) - 4 x^2)/((x^2 + 1)^2) = (2 x^2 + 2 - 4 x^2)/((x^2 + 1)^2) = (2 - 2 x^2)/((x^2 + 1)^2)

Resposta

y^(' ') = (2 - 2 x^2)/((x^2 + 1)^2)

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