Calcule a derivada segunda.

y = ln(x^2 + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, ela é uma função logarítmica natural, vamos ter então que usar a fórmula da função logarítmica natural, da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y ' :

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = ln ⁡ x 2 + 1 ' = 1 x 2 + 1 ⋅ x 2 + 1 ' = 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x 2 - 1 + 0 = 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x = 2 x x 2 + 1

Passo 2

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, porém vamos usar mais uma, a regra da divisão, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = 2 x

e

g x = x 2 + 1

Assim:

y ' ' = y ' ' = 2 x x 2 + 1 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 2 x ' x 2 + 1 - 2 x x 2 + 1 ' x 2 + 1 2 = 2 x 1 - 1 x 2 + 1 - 2 x 2 x 2 - 1 + 0 x 2 + 1 2 = 2 x 0 x 2 + 1 - 2 x 2 x x 2 + 1 2 = 2 ⋅ 1 x 2 + 1 - 4 x 2 x 2 + 1 2 = 2 x 2 + 1 - 4 x 2 x 2 + 1 2 = 2 x 2 + 2 - 4 x 2 x 2 + 1 2 = 2 - 2 x 2 x 2 + 1 2

Resposta

y ' ' = 2 - 2 x 2 x 2 + 1 2

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