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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4s

Derive.

y = cos^3 x^3

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = cos x^3

f (u) = u^3

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (u^3)^' * (cos x^3)^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (u^3)^' = 3 u^(3 - 1) = 3 u^2

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = (cos x^3)^' = - sen x^3 * (x^3)^' = - sen x^3 * 3 x^(3 - 1) = - sen x^3 * 3 x^2 = - 3 x^2 sen x^3

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (u^3)^' * (cos x^3)^' = 3 u^2 * (- 3 x^2 sen x^3)

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = 3 u^2 * (- 3 x^2 sen x^3) = 3 (cos x^3)^2 * (- 3 x^2 sen x^3) = - 9 x^2 cos^2 x^3 sen x^3

Resposta

y^' = - 9 x^2 cos^2 x^3 sen x^3

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