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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5m

Calcule a derivada segunda.

y = (3 x + 1)/(x^2 + x)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = 3 x + 1

e

g (x) = x^2 + x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = ((3 x + 1)/(x^2 + x))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^(' (x)))/([g (x)]^2) = ((3 x + 1)^' (x^2 + x) - (3 x + 1) (x^2 + x)^')/((x^2 + x)^2) = ((3 x^(1 - 1) + 0) (x^2 + x) - (3 x + 1) (2 x^(2 - 1) + x^(1 - 1)))/((x^2 + x)^2) = (3 x^0 (x^2 + x) - (3 x + 1) (2 x + x^0))/((x^2 + x)^2) = (3 * 1 * (x^2 + x) - (3 x + 1) (2 x + 1))/((x^2 + x)^2) = (3 x^2 + 3 x - 6 x^2 - 3 x - 2 x - 1)/((x^2 + x)^2) = (- 3 x^2 - 2 x - 1)/((x^2 + x)^2)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = - 3 x^2 - 2 x - 1

e

g (x) = (x^2 + x)^2

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = ((- 3 x^2 - 2 x - 1)/((x^2 + x)^2))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/([g (x)]^2)

y^(' ') = ((- 3 x^2 - 2 x - 1)^' (x^2 + x)^2 - (- 3 x^2 - 2 x - 1) ((x^2 + x)^2)^')/(((x^2 + x)^2)^2)

y^(' ') = ((- 2 * 3 x^(2 - 1) - 2 x^(1 - 1) - 0) (x^2 + x)^2 - (- 3 x^2 - 2 x - 1) (2 (x^2 + x)^(2 - 1) (x^2 + x)^'))/((x^2 + x)^4)

y^(' ') = ((- 6 x - 2 x^0) (x^2 + x)^2 - (- 3 x^2 - 2 x - 1) (2 (x^2 + x) (2 x^(2 - 1) + x^(1 - 1))))/((x^2 + x)^4)

y^(' ') = ((- 6 x - 2 * 1) (x^2 + x)^2 - (- 3 x^2 - 2 x - 1) (2 (x^2 + x) (2 x + x^0)))/((x^2 + x)^4)

y^(' ') = ((- 6 x - 2) (x^2 + x) - (- 3 x^2 - 2 x - 1) (2 (2 x + 1)))/((x^2 + x)^3) = (- 6 x^3 - 6 x^2 - 2 x^2 - 2 x - (- 3 x^2 - 2 x - 1) (4 x + 2))/((x^2 + x)^3) = (- 6 x^3 - 8 x^2 - 2 x - (- 12 x^3 - 6 x^2 - 8 x^2 - 4 x - 4 x - 2))/((x^2 + x)^3) = (- 6 x^3 - 8 x^2 - 2 x - (- 12 x^3 - 14 x^2 - 8 x - 2))/((x^2 + x)^3) = (- 6 x^3 - 8 x^2 - 2 x + 12 x^3 + 14 x^2 + 8 x + 2)/((x^2 + x)^3)

y^(' ') = (6 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 2)/((x^2 + x)^3)

Resposta

y^(' ') = (6 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 2)/((x^2 + x)^3)

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