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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 42

Determine as derivadas parciais indicadas.

f x , y = y s e n - 1 x y ;     f y 1 , 1 2

Passo 1

Oie, espero que esteja tudo bem. Vim te ajudar a resolver essa atividade hoje.

A gente tem a função:

f x , y = y s e n - 1 x y

E precisamos encontrar a derivada parcial:

f y 1 , 1 2

Então para isso precisaremos derivar a nossa função em relação a y e considerar x como uma constante.

Veja que teremos que utilizar a regra da cadeia para tal atividade, pois aqui temos uma composição de funções.

Veja que também iremos utilizar a regra do produto aqui, pois temos um produto entre funções:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Passo 2

Lembrando que s e n - 1 x = a r c s e n   x e a sua derivada é derivada é 1 1 - x 2 . Vamos lá!!

f x , y = y s e n - 1 x y

Derivando:

f y = ∂ ∂ t y ⋅ sin - 1 ⁡ x y

Aplicando a regra do produto:

f y = ∂ ∂ y y sin - 1 ( ⁡ x y ) + y ⋅ ∂ ∂ y sin - 1 ⁡ x y  

Derivando então:

f y = s e n - 1 x y + y 1 1 - x y 2 x

f y = a r c s e n   x y + x y 1 - x y 2

Beleza, derivada parcial calculada!

Passo 3

Agora a gente joga o ponto e calcula:

f y 1 , 1 2 = a r c s e n   x y + x y 1 - x y 2

Colocando o ponto:

f y = a r c s e n   1 2 + 1 2 1 - 1 2 2

Pegando o arco seno e realizando o quadrado dentro da raiz:

f y = π 6 + 1 2 1 - 1 4

Realizando a o cálculo dentro da raiz:

f y = π 6 + 1 2 3 4

Simplificando:

f y = π 6 + 1 2 2 3

Teremos então:

f y = π 6 + 1 3

Prontinho!! 😉

Resposta

f y = π 6 + 1 3

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