Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f x , t = e - t cos ⁡ π x

Passo 1

E aí, pessoal! Beleza?

Nessa questão nós temos a função

f x , t = e - t cos ⁡ π x

E queremos determinar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,

f x = ∂ f ∂ x

f t = ∂ f ∂ t

Então vamos às contas...

Passo 2

A questão quer que encontremos as derivadas parciais de primeira ordem da função dada.

Neste caso, temos

f x , t = e - t cos ⁡ π x

Vamos começar derivando com relação a x (mantendo t constante). Note que existe uma função dentro da função cosseno, ou seja, vamos utilizar a regra da cadeia nessa derivada.

∂ f ∂ x = e - t ⋅ - sen ⁡   π x ⋅ ∂ ∂ x ( π x )

Logo,

∂ f ∂ x = - π e - t sen ⁡ ( π x )

Passo 3

Derivando com relação a t :

∂ f ∂ t = e - t   ∂ ∂ t - t cos ⁡ π x

Logo,

∂ f ∂ t = - e - t cos ⁡ π x

Resposta

∂ f ∂ x = - π e - t   s e n   π x

∂ f ∂ t = - e - t cos ⁡ π x

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