Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

h(x, y, z, t) = x^2 * y * cos(z / t)

Passo 1

Olá, pronto para derivar meu amigo?

Aqui a gente precisa encontrar as derivadas para a função:

h x , y , z , t = x 2 y cos ⁡ z t  

Beleza que agora são 4 variáveis!! Mas calma, não muda muita coisa. A gente continua derivando uma letra por vez e considerando as outras constantes.

Veja que aqui a gente vai precisa utilizar a regra da cadeia em alguns momentos por conta da composição de funções.

Passo 2

Vamos começar com a derivada parcial em relação a x :

h x , y , z , t = x 2 y cos ⁡ z t  

derivando em relação a x e considerando todas as outras variáveis como constantes:

h x = 2 x y c o s z t

Aqui é só!

Beleza, a gente faz com y :

h x , y , z , t = x 2 y cos ⁡ z t  

h y = x 2 cos ⁡ z t

Aqui acabou também!

Passo 3

E agora com z :

h x , y , z , t = x 2 y cos ⁡ z t  

aqui a gente precisa utilizar a regra da cadeia:

h z = ∂ cos ⁡ z t ∂ z t ⋅ ∂ z t ∂ z

Realizando então a derivada:

h z = - x 2 y   s e n   z t ⋅ 1 t

Simplificando:

h z =   - x 2 y t s e n z t

Show! Só falta em t agora...

Passo 4

Temos então:

h x , y , z , t = x 2 y cos ⁡ z t  

aqui a gente precisa utilizar a regra da cadeia:

h t = ∂ cos ⁡ z t ∂ z t ⋅ ∂ z t ∂ t

Derivando então:

h t = - x 2 y   s e n   z t - z t 2  

Temos então que a nossa última derivada é:

h t =   x 2 y z t 2   s e n   z t

E... fim!

Resposta

h x = 2 x y c o s z t

h y = x 2 cos ⁡ z t

h z =   - x 2 y t s e n z t

h t =   x 2 y z t 2   s e n   z t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados