Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f(x, y, z) = y^2 * e^(-xz)

Passo 1

Fala meu brabooo. Vamos resolver essa atividade aqui.

A gente tem a função de duas variáveis:

f x , y , z = x y 2 e - x z

E a gente quer encontrar as duas primeiras derivadas parciais dela, que são f x e f y .

Para determinar derivadas parciais é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes, e como a gente sabe, as constantes podem sair da derivada.

É importante destacar que quando um termo só está em função de uma variável e estamos derivando em relação à outra, ou seja, consideramos esta constante, a sua derivada é igual a zero.

Passo 2

Beleza, vamos começar derivando em relação a x , e mantendo y , z como constantes:

f x , y , z = x y 2 e - x z

∂ f ∂ x = y 2 e - x z - x y 2 z e - x z

Beleza, a gente faz a mesma coisa com y , deriva em relação a y e x , z agora são constantes:

∂ f ∂ y = 2 x y e - x z

Aqui é só isso!

Passo 3

E agora com z , veja que deveremos utilizar a regra da cadeia por conta da composição de funções:

∂ f ∂ z = x y 2 ∂ f ∂ z e - z x

∂ f ∂ z = x y 2 ⋅ e - z x   ⋅ - x

  ∂ f ∂ z =   - x 2 y 2 e - x z

Prontinho!! 😊

Resposta

f x = y 2 e - x z - x z y 2 e - x z

f y = 2 x y e - x z

f z =   - x 2 y 2 e - x z

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