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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 35

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

p = t 4 + u 2 cos ⁡ v  

Passo 1

E aí, galera! Tudo certo?

Nessa questão nós temos a função

p = f u , v , t = t 4 + u 2 cos ⁡ v

e queremos determinar todas as derivadas de primeira ordem dela, ou seja, p u , p v ,   e p t .

São três variáveis. Vamos fazer uma de cada vez, beleza?

Vamos lá...

Passo 2

Vamos fazer a de u primeiro.

Aqui vamos precisar usar a regra da cadeia. No contexto da nossa questão, em cada caso precisaremos fazer a derivada de uma função do tipo

f x = g x

Pela regra da cadeia,

f ' x = 1 2 g x     d d x g x

Vamos começar aplicando isso à derivada com relação a u :

p u = 1 2 t 4 + u 2 cos ⁡ v ( 2 u cos ⁡ v )

p u = u cos ⁡ v t 4 + u 2 cos ⁡ v

Passo 3

Beleza, a gente faz a mesma coisa com v :

p v = 1 2 t 4 + u 2 cos ⁡ v ( - u 2 s e n   v )

p v = - u 2 s e n   v 2 t 4 + u 2 cos ⁡ v  

Show! Aqui já foi!

Passo 4

E agora com t :

p t = 1 2 t 4 + u 2 cos ⁡ v 4 t 3  

p t = 2 t 3 t 4 + u 2 cos ⁡ v

Prontinho!! 😊

Resposta

p u = u cos ⁡ v t 4 + u 2 cos ⁡ v

p v = - u 2 s e n   v 2 t 4 + u 2 cos ⁡ v  

p t = 2 t 3 t 4 + u 2 cos ⁡ v

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