Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f(x, y, z) = x^2 * e^(y*z)

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo? Vamos resolver uma questãozinha de derivada?

Pode perceber que a função polinomial da questão é uma multiplicação. Sendo assim, podemos aplicar a regra do produto. E por conta da exponencial, vamos usar também a regra da cadeia. Para resolvermos essa derivada.

Regra do produto:

u x ∙ v x = u ' x ∙ v x + u x ∙ v ' ( x )

Regra da cadeia:

d f d x ​ = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x )

Aliás, quando a questão pede derivada de primeira ordem, significa que precisamos derivar apenas uma vez em relação a x , em relação a y e em relação a z .

Por possuir três variáveis na função f nós teremos por consequência três derivadas parciais iguais a:

f x = ∂ f ∂ x ;     f y = ∂ f ∂ y ;     f z = ∂ f ∂ z

Se ligou nas dicas? Agora podemos começar agora!

Passo 2

Começando por f x :

f x = ∂ ∂ x x 2 e y z

Lembrando, que consideramos o termo independente de x como constante, então vamos tirá-lo da derivada:

f x = e y z ∂ ∂ x x 2

Agora vamos resolver através da regra da potência ( a n = n ∙ a n - 1 )

f x = 2 x e y z

Passo 3

Agora para f y :

f y = ∂ ∂ y x 2 e y z

Mantendo x ² um termo fixo, pois não depende de y

f y = x 2 ∂ e y z ∂ y

Para resolver ∂ e y z ∂ y temos que fazer pela regra da cadeia que nos dará:

∂ e y z ∂ y = u ' v x ⋅ v ' x

Substituindo os termos, v x = e y z e v ' x = d d y y z

∂ e y z ∂ y ​ = e y z ⋅ y z '

Derivando, temos

∂ e y z ∂ y ​ = e y z ⋅ z

∂ e y z ∂ y ​ = z e y z

Substituindo o resultado teremos:

f y = x 2 z   e y z

Passo 4

Agora para f z :

f z = ∂ x 2 e y z ∂ z =

Mantendo o x ² um termo fixo, pois não depende de z

f z = x 2 ∂ e y z ∂ z

Onde temos que resolver de novo pela regra da cadeia só que agora em relação a z :

∂ e y z ∂ z = u ' v x ⋅ v ' x

Substituindo os termos, v x = e y z e v ' x = d d z y z

∂ e y z ∂ z �� = e y z ⋅ y z '

Derivando, temos

∂ e y z ∂ z ​ = e y z ⋅ y

∂ e y z ∂ z ​ = y e y z

Substituindo o resultado teremos:

f z = x 2 y   e y z

E é isso galerinha!

Resposta

f x = 2 x e y z

f y = x 2 z   e y z

f z = x 2 y   e y z

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