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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 2

Seja f (x , y , z) = (x)/(x^2 + y^2 + z^2) . Verifique que

x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) + z (del f)/(del z) = - f

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de três variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática.

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas parciais da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Passo 2

Temos f (x , y , z) = (x)/(x^2 + y^2 + z^2) . Assim, calculando a derivada em x , temos:

(del f (x , y , z))/(del x) = (del)/(del x) [(x)/(x^2 + y^2 + z^2)] = x (del)/(del x) [(1)/(x^2 + y^2 + z^2)] + (1)/(x^2 + y^2 + z^2) (del)/(del x) [x]

Daí, pela regra da cadeia:

(del f (x , y , z))/(del x) = x [- (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)] (del)/(del x) [x^2 + y^2 + z^2] + (1)/(x^2 + y^2 + z^2) [1]

Ou seja, temos:

(del f (x , y , z))/(del x) = x [- (2 x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)] + (1)/(x^2 + y^2 + z^2)

Reescrevendo de forma um pouco mais compacta, ficamos com:

(del f (x , y , z))/(del x) = (- x^2 + y^2 + z^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)

Passo 3

Agora, calculando a derivada da f em y , temos:

(del f (x , y , z))/(del y) = (del)/(del y) [(x)/(x^2 + y^2 + z^2)] = x (del)/(del y) [(1)/(x^2 + y^2 + z^2)]

Daí, pela regra da cadeia:

(del f (x , y , z))/(del y) = x [- (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)] (del)/(del y) [x^2 + y^2 + z^2]

Ou seja, temos:

(del f (x , y , z))/(del y) = x [- (2 y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)]

Passo 4

Agora, calculando a derivada da f em z , temos:

(del f (x , y , z))/(del z) = (del)/(del z) [(x)/(x^2 + y^2 + z^2)] = x (del)/(del z) [(1)/(x^2 + y^2 + z^2)]

Daí, pela regra da cadeia:

(del f (x , y , z))/(del z) = x [- (1)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)] (del)/(del z) [x^2 + y^2 + z^2]

Ou seja, temos:

(del f (x , y , z))/(del z) = x [- (2 z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)]

Passo 5

Agora que obtivemos todas as derivadas da f , bata substituir na fórmula dada com cuidado. No momento vamos desenvolver só a parte esquerda da fórmula, ou seja:

x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) + z (del f)/(del z)

Quanto será que vele esta expressão? Basta substituir os resultados que já temos, obtendo:

x (- x^2 + y^2 + z^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) + y x [- (2 y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)] + z x [- (2 z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2)]

Notamos que todos os termos estão com o mesmo denominador. Assim, podemos juntar eles facilmente:

(x (- x^2 + y^2 + z^2) - 2 x y^2 - 2 x z^2)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) = (x (- x^2 - y^2 - z^2))/((x^2 + y^2 + z^2)^2)

Mas, note que o numerador cancela uma potência do denominador. Assim, o resultado do lado esquerdo é:

(- x)/(x^2 + y^2 + z^2)

Hmm, esta expressão parece que eu já vi em algum lugar... Pera aí! Ela é exatamente igual a - f não é? Maravilha! Acabamos de provar o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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